Страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

630. Исследуем. Определите, при каких целых n значение алгебраической дроби:

а) $\frac{5n+7}{n}$;

б) $\frac{5n+7}{n+2}$;

в) $\frac{3n^2-6n+1}{n-2}$;

г) $\frac{7n+5}{n}$;

д) $\frac{7n+5}{n+1}$;

е) $\frac{2n^2-6n+7}{n-3}$

является целым числом.

а) Чтобы значение дроби $\frac{5n + 7}{n}$ было целым числом, необходимо преобразовать ее. Разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{5n + 7}{n} = \frac{5n}{n} + \frac{7}{n} = 5 + \frac{7}{n}$

Выражение $5 + \frac{7}{n}$ является целым числом, если дробь $\frac{7}{n}$ является целым числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является делителем числа 7. Целыми делителями числа 7 являются числа: $1, -1, 7, -7$.

Ответ: $n \in \{-7, -1, 1, 7\}$.

б) Чтобы значение дроби $\frac{5n + 7}{n + 2}$ было целым числом, выделим целую часть дроби. Для этого представим числитель в виде, содержащем знаменатель: $5n + 7 = 5n + 10 - 3 = 5(n + 2) - 3$.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{5(n + 2) - 3}{n + 2} = \frac{5(n + 2)}{n + 2} - \frac{3}{n + 2} = 5 - \frac{3}{n + 2}$

Значение этого выражения будет целым, если дробь $\frac{3}{n + 2}$ будет целым числом. Это произойдет, если знаменатель $n + 2$ является делителем числа 3. Целыми делителями числа 3 являются $1, -1, 3, -3$.

Рассмотрим все случаи:
1) Если $n + 2 = 1$, то $n = -1$.
2) Если $n + 2 = -1$, то $n = -3$.
3) Если $n + 2 = 3$, то $n = 1$.
4) Если $n + 2 = -3$, то $n = -5$.

Ответ: $n \in \{-5, -3, -1, 1\}$.

в) Чтобы значение дроби $\frac{3n^2 - 6n + 1}{n - 2}$ было целым числом, выделим целую часть. Сгруппируем слагаемые в числителе: $3n^2 - 6n + 1 = (3n^2 - 6n) + 1 = 3n(n - 2) + 1$.

Подставим в дробь:

$\frac{3n(n - 2) + 1}{n - 2} = \frac{3n(n - 2)}{n - 2} + \frac{1}{n - 2} = 3n + \frac{1}{n - 2}$

Так как $n$ — целое число, то $3n$ тоже целое. Следовательно, для того чтобы вся сумма была целой, необходимо, чтобы дробь $\frac{1}{n - 2}$ была целым числом. Это возможно, если знаменатель $n - 2$ является делителем числа 1. Целые делители числа 1: $1$ и $-1$.

Рассмотрим случаи:
1) Если $n - 2 = 1$, то $n = 3$.
2) Если $n - 2 = -1$, то $n = 1$.
Знаменатель $n-2$ не должен быть равен нулю ($n \neq 2$), наши решения удовлетворяют этому условию.

Ответ: $n \in \{1, 3\}$.

г) Чтобы значение дроби $\frac{7n + 5}{n}$ было целым числом, преобразуем ее, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{7n + 5}{n} = \frac{7n}{n} + \frac{5}{n} = 7 + \frac{5}{n}$

Выражение будет целым, если дробь $\frac{5}{n}$ будет целым числом. Это значит, что $n$ должно быть делителем числа 5. Целые делители числа 5: $1, -1, 5, -5$.

Ответ: $n \in \{-5, -1, 1, 5\}$.

д) Чтобы значение дроби $\frac{7n + 5}{n + 1}$ было целым числом, выделим целую часть. Представим числитель через знаменатель: $7n + 5 = 7n + 7 - 2 = 7(n + 1) - 2$.

Подставим в дробь:

$\frac{7(n + 1) - 2}{n + 1} = \frac{7(n + 1)}{n + 1} - \frac{2}{n + 1} = 7 - \frac{2}{n + 1}$

Значение выражения будет целым, если $\frac{2}{n + 1}$ — целое число. Это возможно, если $n + 1$ является делителем числа 2. Целые делители числа 2: $1, -1, 2, -2$.

Рассмотрим все случаи:
1) Если $n + 1 = 1$, то $n = 0$.
2) Если $n + 1 = -1$, то $n = -2$.
3) Если $n + 1 = 2$, то $n = 1$.
4) Если $n + 1 = -2$, то $n = -3$.

Ответ: $n \in \{-3, -2, 0, 1\}$.

е) Чтобы значение дроби $\frac{2n^2 - 6n + 7}{n - 3}$ было целым числом, выделим целую часть. Выполним преобразование числителя: $2n^2 - 6n + 7 = 2n(n - 3) + 6n - 6n + 7 = 2n(n - 3) + 7$.

Подставим в дробь:

$\frac{2n(n - 3) + 7}{n - 3} = \frac{2n(n - 3)}{n - 3} + \frac{7}{n - 3} = 2n + \frac{7}{n - 3}$

Так как $n$ — целое, $2n$ тоже целое. Значение всего выражения будет целым, если дробь $\frac{7}{n - 3}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $n - 3$ является делителем числа 7. Целые делители числа 7: $1, -1, 7, -7$.

Рассмотрим случаи:
1) Если $n - 3 = 1$, то $n = 4$.
2) Если $n - 3 = -1$, то $n = 2$.
3) Если $n - 3 = 7$, то $n = 10$.
4) Если $n - 3 = -7$, то $n = -4$.
Знаменатель $n-3$ не должен быть равен нулю ($n \neq 3$), наши решения удовлетворяют этому условию.

Ответ: $n \in \{-4, 2, 4, 10\}$.