Страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

642. а) Какое уравнение называют линейным уравнением с одним неизвестным? Приведите примеры линейных уравнений.

б) Является ли уравнение первой степени линейным уравнением?

в) Что называют членами линейного уравнения?

г) Какие уравнения называют равносильными? Приведите примеры равносильных уравнений.

д) Какие утверждения о равносильности линейных уравнений вам известны?

а) Какое уравнение называют линейным уравнением с одним неизвестным? Приведите примеры линейных уравнений.

Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида $ax = b$, где $x$ — это переменная (неизвестное), а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Число $a$ называют коэффициентом при неизвестном, а число $b$ — свободным членом.

Любое уравнение, которое можно свести к виду $ax = b$ с помощью тождественных преобразований, также является линейным.

Примеры линейных уравнений:

• $3x = 15$ (здесь $a=3, b=15$)
• $-2.5x = 10$ (здесь $a=-2.5, b=10$)
• $\frac{1}{2}y = -5$ (здесь переменная — $y$, $a=\frac{1}{2}, b=-5$)
• $5x - 8 = 2x + 1$ (это уравнение сводится к линейному: $5x - 2x = 1 + 8 \Rightarrow 3x = 9$)
• $0x = 7$ (линейное уравнение, не имеющее корней)
• $0x = 0$ (линейное уравнение, где корнем является любое число)

Ответ: Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — числа. Примеры: $3x = 15$, $5x - 8 = 2x + 1$.

б) Является ли уравнение первой степени линейным уравнением?

Да, является. Уравнением первой степени с одной переменной называют уравнение вида $ax + b = 0$, где $a \neq 0$. Это уравнение можно преобразовать к виду $ax = -b$. Так как полученное уравнение соответствует стандартному виду линейного уравнения $ax=b'$ (где $b' = -b$), то любое уравнение первой степени является частным случаем линейного уравнения.

Важно отметить, что обратное не всегда верно. Линейное уравнение $ax=b$ не является уравнением первой степени, если $a=0$ (например, $0x=5$), так как в этом случае исчезает член с переменной в первой степени.

Ответ: Да, любое уравнение первой степени является линейным уравнением.

в) Что называют членами линейного уравнения?

Членами линейного уравнения называют слагаемые, из которых состоят левая и правая части уравнения. Например, в уравнении $7x - 5 = 3x + 11$ членами уравнения являются $7x$, $-5$, $3x$ и $11$. После приведения уравнения к стандартному виду $ax=b$ его левая часть ($ax$) и правая часть ($b$) также могут рассматриваться как члены уравнения.

Ответ: Члены линейного уравнения — это отдельные слагаемые в его левой и правой частях.

г) Какие уравнения называют равносильными? Приведите примеры равносильных уравнений.

Равносильными называют уравнения, которые имеют одинаковые множества решений (корней). Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Примеры равносильных уравнений:

• Уравнение $x + 3 = 8$ и уравнение $x = 5$. Оба имеют единственный корень $x=5$.
• Уравнение $4(x - 2) = 12$ и уравнение $x - 2 = 3$. Оба имеют единственный корень $x=5$.
• Уравнение $2y = -10$ и уравнение $y + 5 = 0$. Оба имеют единственный корень $y=-5$.
• Уравнение $x = x + 1$ и уравнение $0x = 5$. Оба уравнения не имеют корней, следовательно, они равносильны.

Ответ: Равносильные уравнения — это уравнения с одинаковыми множествами решений. Пример: $x+3=8$ и $x=5$.

д) Какие утверждения о равносильности линейных уравнений вам известны?

Существуют два основных утверждения (или свойства), которые позволяют преобразовывать уравнение в равносильное ему. Эти свойства лежат в основе решения уравнений.

1. Если любой член уравнения перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное исходному. Это свойство является следствием возможности прибавлять или вычитать одно и то же число или выражение из обеих частей уравнения.
   Например, уравнение $5x - 9 = 2x$ равносильно уравнению $5x - 2x = 9$.
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное исходному.
   Например, уравнение $6x = 18$ равносильно уравнению $x = 3$ (обе части разделили на 6).

Ответ: Основные утверждения о равносильности: 1) можно переносить члены из одной части в другую с противоположным знаком; 2) можно умножать или делить обе части на одно и то же ненулевое число.

643. Для каких значений $k$ и $b$ линейное уравнение $kx + b = 0$:

а) имеет единственное решение;

б) не имеет решений;

в) имеет бесконечно много решений?

Рассмотрим общее линейное уравнение $kx + b = 0$. Для нахождения решения необходимо выразить переменную $x$.

Перенесем свободный член $b$ в правую часть уравнения:

$kx = -b$

Дальнейшее решение зависит от значения коэффициента $k$. Проанализируем все возможные случаи.

а) имеет единственное решение;

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения $kx = -b$ на коэффициент $k$. Эта операция деления возможна только тогда, когда делитель не равен нулю, то есть при условии $k \neq 0$. В этом случае мы получаем единственный корень уравнения:

$x = -\frac{b}{k}$

При этом значение свободного члена $b$ может быть абсолютно любым, так как оно не влияет на количество решений (только на значение самого корня).

Ответ: $k \neq 0$, $b$ – любое число.

б) не имеет решений;

Рассмотрим случай, когда коэффициент $k = 0$. Уравнение $kx = -b$ принимает вид:

$0 \cdot x = -b$

В левой части уравнения всегда будет ноль, независимо от значения $x$. Если при этом свободный член $b$ не равен нулю ($b \neq 0$), то правая часть уравнения ($-b$) также не будет равна нулю. Мы получаем неверное равенство вида $0 = \text{ненулевое число}$. Например, если $k=0$ и $b=5$, уравнение будет $0 = -5$, что является ложью. Следовательно, не существует такого значения $x$, которое могло бы удовлетворить этому уравнению.

Ответ: $k = 0$ и $b \neq 0$.

в) имеет бесконечно много решений?

Снова рассмотрим случай, когда коэффициент $k = 0$. Уравнение принимает вид:

$0 \cdot x = -b$

Если при этом свободный член $b$ также равен нулю ($b = 0$), то правая часть уравнения ($-b$) тоже будет равна нулю. Уравнение превращается в тождество:

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Это равенство является верным при любом значении переменной $x$, поскольку любое число при умножении на ноль дает ноль. Таким образом, решением уравнения является любое число.

Ответ: $k = 0$ и $b = 0$.

644. Является ли данное уравнение линейным уравнением с одним неизвестным x:

а) $2x - 5 = 3x - 4;$

б) $0,5x - 7,3 = -4x + 6;$

в) $0 \cdot x = 0;$

г) $x^2 - 3x + 4 = 2x^2 + 2x - 3;$

д) $-10 = 5x - 4;$

е) $x^2 + 3x - 5 = 0;$

ж) $x + y - 4 = 0? $

Линейным уравнением с одним неизвестным $x$ называется уравнение вида $ax=b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа. Чтобы определить, является ли уравнение линейным с одним неизвестным $x$, нужно проверить, содержит ли оно только одну переменную ($x$) и можно ли его после преобразований свести к виду $ax=b$, где $x$ находится в первой степени.

а) $2x - 5 = 3x - 4$

Данное уравнение содержит только одну переменную $x$ в первой степени. Приведем его к стандартному виду $ax=b$:

$2x - 3x = -4 + 5$

$-x = 1$

Уравнение сведено к виду $ax=b$, где $a = -1$ и $b = 1$. Следовательно, это линейное уравнение с одним неизвестным.

Ответ: да.

б) $0,5x - 7,3 = -4x + 6$

В уравнении одна переменная $x$ в первой степени. Упростим его, приведя к виду $ax=b$:

$0,5x + 4x = 6 + 7,3$

$4,5x = 13,3$

Это уравнение вида $ax=b$ ($a=4,5$, $b=13,3$), значит, оно линейное с одним неизвестным.

Ответ: да.

в) $0 \cdot x = 0$

Это уравнение уже представлено в виде $ax=b$, где $a=0$ и $b=0$. Оно содержит одну переменную $x$ в первой степени. Следовательно, это линейное уравнение с одним неизвестным.

Ответ: да.

г) $x^2 - 3x + 4 = 2x^2 + 2x - 3$

В этом уравнении переменная $x$ присутствует во второй степени ($x^2$). Упростим уравнение, чтобы проверить, сократятся ли члены с $x^2$:

$x^2 - 2x^2 - 3x - 2x + 4 + 3 = 0$

$-x^2 - 5x + 7 = 0$

Член с $x^2$ не сократился. Уравнение, содержащее переменную во второй степени, является квадратным, а не линейным.

Ответ: нет.

д) $-10 = 5x - 4$

Уравнение содержит одну переменную $x$ в первой степени. Приведем его к виду $ax=b$:

$-5x = -4 + 10$

$-5x = 6$

Уравнение сведено к виду $ax=b$ ($a = -5$, $b = 6$). Следовательно, это линейное уравнение с одним неизвестным.

Ответ: да.

е) $x^2 + 3x - 5 = 0$

Это уравнение содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). Поскольку коэффициент при $x^2$ не равен нулю, это уравнение не является линейным. Это квадратное уравнение.

Ответ: нет.

ж) $x + y - 4 = 0$

Это уравнение содержит две переменные: $x$ и $y$. Линейное уравнение с одним неизвестным должно содержать только одну переменную. Данное уравнение является линейным, но с двумя неизвестными, а не с одним.

Ответ: нет.

645. Напишите два линейных уравнения с одним неизвестным.

Линейное уравнение с одним неизвестным — это алгебраическое уравнение, которое можно привести к стандартному виду $ax + b = 0$, где $x$ — это переменная (неизвестное), а $a$ и $b$ — известные числа (коэффициенты), причем коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Вот два примера линейных уравнений с одним неизвестным и их подробное решение.

Первое уравнение: $3x - 5 = 7$

Это линейное уравнение, где неизвестное — $x$. Чтобы решить его, нужно найти значение $x$, при котором равенство будет верным.

1. Изолируем слагаемое с неизвестным. Для этого перенесем свободный член (число $-5$) из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$3x = 7 + 5$

$3x = 12$

2. Теперь найдем значение $x$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:

$x = \frac{12}{3}$

$x = 4$

Для проверки подставим полученный корень в исходное уравнение: $3 \cdot 4 - 5 = 12 - 5 = 7$. Равенство $7=7$ верно.

Ответ: $x = 4$.

Второе уравнение: $\frac{y}{4} + 2 = 5$

Это также линейное уравнение, но с неизвестным $y$. Решим его по аналогии.

1. Перенесем число 2 в правую часть уравнения, поменяв знак:

$\frac{y}{4} = 5 - 2$

$\frac{y}{4} = 3$

2. Чтобы выразить $y$, умножим обе части уравнения на знаменатель дроби, то есть на 4:

$y = 3 \cdot 4$

$y = 12$

Для проверки подставим найденное значение в исходное уравнение: $\frac{12}{4} + 2 = 3 + 2 = 5$. Равенство $5=5$ верно.

Ответ: $y = 12$.

646. Какие из чисел 5; 2,3; -8; 7 являются корнями уравнения $7x + 56 = -2x - 16$?

Чтобы определить, какие из данных чисел являются корнями уравнения $7x + 56 = -2x - 16$, необходимо поочередно подставить каждое число в уравнение вместо $x$. Если в результате подстановки левая часть уравнения будет равна правой, то число является корнем.

5

Подставляем $x = 5$ в уравнение:

$7 \cdot 5 + 56 = -2 \cdot 5 - 16$

$35 + 56 = -10 - 16$

$91 = -26$

Получено неверное равенство.

Ответ: число 5 не является корнем уравнения.

2,3

Подставляем $x = 2,3$ в уравнение:

$7 \cdot 2,3 + 56 = -2 \cdot 2,3 - 16$

$16,1 + 56 = -4,6 - 16$

$72,1 = -20,6$

Получено неверное равенство.

Ответ: число 2,3 не является корнем уравнения.

-8

Подставляем $x = -8$ в уравнение:

$7 \cdot (-8) + 56 = -2 \cdot (-8) - 16$

$-56 + 56 = 16 - 16$

$0 = 0$

Получено верное равенство.

Ответ: число -8 является корнем уравнения.

7

Подставляем $x = 7$ в уравнение:

$7 \cdot 7 + 56 = -2 \cdot 7 - 16$

$49 + 56 = -14 - 16$

$105 = -30$

Получено неверное равенство.

Ответ: число 7 не является корнем уравнения.

647. Равносильны ли уравнения:

а) $2x + 3 = 0$ и $2x = -3;$

б) $3x - 7 = 4x - 3$ и $0 = (4x - 3) - (3x - 7);$

в) $-3x - 7 = 0$ и $3x + 7 = 0;$

г) $-2x + 3 = 0$ и $2x + 3 = 0;$

д) $3x - 7 + 2x - 3 = x$ и $4x - 10 = 0;$

е) $7x - 5 = 7x + 5$ и $0x + 1 = 0?$

а) Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.
Решим первое уравнение: $2x + 3 = 0$. Перенесем 3 в правую часть: $2x = -3$. Корень уравнения: $x = -3/2$.
Второе уравнение: $2x = -3$. Его корень также $x = -3/2$.
Так как множества корней обоих уравнений совпадают, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

б) Рассмотрим уравнения $3x - 7 = 4x - 3$ и $0 = (4x - 3) - (3x - 7)$.
Решим первое уравнение:
$3x - 7 = 4x - 3$
$-7 + 3 = 4x - 3x$
$-4 = x$
Корень первого уравнения: $x = -4$.
Решим второе уравнение, раскрыв скобки:
$0 = 4x - 3 - 3x + 7$
$0 = x + 4$
$-4 = x$
Корень второго уравнения также $x = -4$. Множества корней совпадают, значит, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

в) Рассмотрим уравнения $-3x - 7 = 0$ и $3x + 7 = 0$.
Решим первое уравнение:
$-3x - 7 = 0$
$-3x = 7$
$x = -7/3$
Решим второе уравнение:
$3x + 7 = 0$
$3x = -7$
$x = -7/3$
Оба уравнения имеют один и тот же корень $x = -7/3$. Следовательно, они равносильны. Второе уравнение получено из первого умножением на $-1$.
Ответ: да, равносильны.

г) Рассмотрим уравнения $-2x + 3 = 0$ и $2x + 3 = 0$.
Решим первое уравнение:
$-2x + 3 = 0$
$-2x = -3$
$x = 3/2$
Решим второе уравнение:
$2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -3/2$
Корень первого уравнения $x = 3/2$, а корень второго $x = -3/2$. Так как $3/2 \ne -3/2$, множества корней не совпадают.
Ответ: нет, не равносильны.

д) Рассмотрим уравнения $3x - 7 + 2x - 3 = x$ и $4x - 10 = 0$.
Решим первое уравнение. Сначала упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:
$(3x + 2x) + (-7 - 3) = x$
$5x - 10 = x$
$5x - x = 10$
$4x = 10$
$x = 10/4 = 5/2 = 2.5$
Решим второе уравнение:
$4x - 10 = 0$
$4x = 10$
$x = 10/4 = 5/2 = 2.5$
Оба уравнения имеют один и тот же корень $x = 2.5$. Следовательно, они равносильны.
Ответ: да, равносильны.

е) Рассмотрим уравнения $7x - 5 = 7x + 5$ и $0x + 1 = 0$.
Решим первое уравнение:
$7x - 5 = 7x + 5$
$7x - 7x = 5 + 5$
$0x = 10$
Мы получили равенство $0 = 10$, которое является неверным. Это означает, что первое уравнение не имеет корней.
Решим второе уравнение:
$0x + 1 = 0$
$0x = -1$
Мы получили равенство $0 = -1$, которое также является неверным. Второе уравнение также не имеет корней.
Поскольку оба уравнения не имеют корней, их множества решений совпадают (оба пусты). Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.