Номер 642, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9.2. Линейные уравнения с одним неизвестным. Параграф 9. Линейные уравнения с одним неизвестным. Глава 3. Линейные уравнения - номер 642, страница 176.

Условие.

642. а) Какое уравнение называют линейным уравнением с одним неизвестным? Приведите примеры линейных уравнений.

б) Является ли уравнение первой степени линейным уравнением?

в) Что называют членами линейного уравнения?

г) Какие уравнения называют равносильными? Приведите примеры равносильных уравнений.

д) Какие утверждения о равносильности линейных уравнений вам известны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Какое уравнение называют линейным уравнением с одним неизвестным? Приведите примеры линейных уравнений.

Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида $ax = b$, где $x$ — это переменная (неизвестное), а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Число $a$ называют коэффициентом при неизвестном, а число $b$ — свободным членом.

Любое уравнение, которое можно свести к виду $ax = b$ с помощью тождественных преобразований, также является линейным.

Примеры линейных уравнений:

• $3x = 15$ (здесь $a=3, b=15$)
• $-2.5x = 10$ (здесь $a=-2.5, b=10$)
• $\frac{1}{2}y = -5$ (здесь переменная — $y$, $a=\frac{1}{2}, b=-5$)
• $5x - 8 = 2x + 1$ (это уравнение сводится к линейному: $5x - 2x = 1 + 8 \Rightarrow 3x = 9$)
• $0x = 7$ (линейное уравнение, не имеющее корней)
• $0x = 0$ (линейное уравнение, где корнем является любое число)

Ответ: Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — числа. Примеры: $3x = 15$, $5x - 8 = 2x + 1$.

б) Является ли уравнение первой степени линейным уравнением?

Да, является. Уравнением первой степени с одной переменной называют уравнение вида $ax + b = 0$, где $a \neq 0$. Это уравнение можно преобразовать к виду $ax = -b$. Так как полученное уравнение соответствует стандартному виду линейного уравнения $ax=b'$ (где $b' = -b$), то любое уравнение первой степени является частным случаем линейного уравнения.

Важно отметить, что обратное не всегда верно. Линейное уравнение $ax=b$ не является уравнением первой степени, если $a=0$ (например, $0x=5$), так как в этом случае исчезает член с переменной в первой степени.

Ответ: Да, любое уравнение первой степени является линейным уравнением.

в) Что называют членами линейного уравнения?

Членами линейного уравнения называют слагаемые, из которых состоят левая и правая части уравнения. Например, в уравнении $7x - 5 = 3x + 11$ членами уравнения являются $7x$, $-5$, $3x$ и $11$. После приведения уравнения к стандартному виду $ax=b$ его левая часть ($ax$) и правая часть ($b$) также могут рассматриваться как члены уравнения.

Ответ: Члены линейного уравнения — это отдельные слагаемые в его левой и правой частях.

г) Какие уравнения называют равносильными? Приведите примеры равносильных уравнений.

Равносильными называют уравнения, которые имеют одинаковые множества решений (корней). Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Примеры равносильных уравнений:

• Уравнение $x + 3 = 8$ и уравнение $x = 5$. Оба имеют единственный корень $x=5$.
• Уравнение $4(x - 2) = 12$ и уравнение $x - 2 = 3$. Оба имеют единственный корень $x=5$.
• Уравнение $2y = -10$ и уравнение $y + 5 = 0$. Оба имеют единственный корень $y=-5$.
• Уравнение $x = x + 1$ и уравнение $0x = 5$. Оба уравнения не имеют корней, следовательно, они равносильны.

Ответ: Равносильные уравнения — это уравнения с одинаковыми множествами решений. Пример: $x+3=8$ и $x=5$.

д) Какие утверждения о равносильности линейных уравнений вам известны?

Существуют два основных утверждения (или свойства), которые позволяют преобразовывать уравнение в равносильное ему. Эти свойства лежат в основе решения уравнений.

1. Если любой член уравнения перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное исходному. Это свойство является следствием возможности прибавлять или вычитать одно и то же число или выражение из обеих частей уравнения.
   Например, уравнение $5x - 9 = 2x$ равносильно уравнению $5x - 2x = 9$.
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное исходному.
   Например, уравнение $6x = 18$ равносильно уравнению $x = 3$ (обе части разделили на 6).

Ответ: Основные утверждения о равносильности: 1) можно переносить члены из одной части в другую с противоположным знаком; 2) можно умножать или делить обе части на одно и то же ненулевое число.