Номер 647, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9.2. Линейные уравнения с одним неизвестным. Параграф 9. Линейные уравнения с одним неизвестным. Глава 3. Линейные уравнения - номер 647, страница 176.

Условие.

647. Равносильны ли уравнения:

а) $2x + 3 = 0$ и $2x = -3;$

б) $3x - 7 = 4x - 3$ и $0 = (4x - 3) - (3x - 7);$

в) $-3x - 7 = 0$ и $3x + 7 = 0;$

г) $-2x + 3 = 0$ и $2x + 3 = 0;$

д) $3x - 7 + 2x - 3 = x$ и $4x - 10 = 0;$

е) $7x - 5 = 7x + 5$ и $0x + 1 = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.
Решим первое уравнение: $2x + 3 = 0$. Перенесем 3 в правую часть: $2x = -3$. Корень уравнения: $x = -3/2$.
Второе уравнение: $2x = -3$. Его корень также $x = -3/2$.
Так как множества корней обоих уравнений совпадают, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

б) Рассмотрим уравнения $3x - 7 = 4x - 3$ и $0 = (4x - 3) - (3x - 7)$.
Решим первое уравнение:
$3x - 7 = 4x - 3$
$-7 + 3 = 4x - 3x$
$-4 = x$
Корень первого уравнения: $x = -4$.
Решим второе уравнение, раскрыв скобки:
$0 = 4x - 3 - 3x + 7$
$0 = x + 4$
$-4 = x$
Корень второго уравнения также $x = -4$. Множества корней совпадают, значит, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

в) Рассмотрим уравнения $-3x - 7 = 0$ и $3x + 7 = 0$.
Решим первое уравнение:
$-3x - 7 = 0$
$-3x = 7$
$x = -7/3$
Решим второе уравнение:
$3x + 7 = 0$
$3x = -7$
$x = -7/3$
Оба уравнения имеют один и тот же корень $x = -7/3$. Следовательно, они равносильны. Второе уравнение получено из первого умножением на $-1$.
Ответ: да, равносильны.

г) Рассмотрим уравнения $-2x + 3 = 0$ и $2x + 3 = 0$.
Решим первое уравнение:
$-2x + 3 = 0$
$-2x = -3$
$x = 3/2$
Решим второе уравнение:
$2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -3/2$
Корень первого уравнения $x = 3/2$, а корень второго $x = -3/2$. Так как $3/2 \ne -3/2$, множества корней не совпадают.
Ответ: нет, не равносильны.

д) Рассмотрим уравнения $3x - 7 + 2x - 3 = x$ и $4x - 10 = 0$.
Решим первое уравнение. Сначала упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:
$(3x + 2x) + (-7 - 3) = x$
$5x - 10 = x$
$5x - x = 10$
$4x = 10$
$x = 10/4 = 5/2 = 2.5$
Решим второе уравнение:
$4x - 10 = 0$
$4x = 10$
$x = 10/4 = 5/2 = 2.5$
Оба уравнения имеют один и тот же корень $x = 2.5$. Следовательно, они равносильны.
Ответ: да, равносильны.

е) Рассмотрим уравнения $7x - 5 = 7x + 5$ и $0x + 1 = 0$.
Решим первое уравнение:
$7x - 5 = 7x + 5$
$7x - 7x = 5 + 5$
$0x = 10$
Мы получили равенство $0 = 10$, которое является неверным. Это означает, что первое уравнение не имеет корней.
Решим второе уравнение:
$0x + 1 = 0$
$0x = -1$
Мы получили равенство $0 = -1$, которое также является неверным. Второе уравнение также не имеет корней.
Поскольку оба уравнения не имеют корней, их множества решений совпадают (оба пусты). Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.