Номер 648, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9.3. Решение линейных уравнений с одним неизвестным. Параграф 9. Линейные уравнения с одним неизвестным. Глава 3. Линейные уравнения - номер 648, страница 179.

Условие.

648. a) Может ли линейное уравнение с одним неизвестным не иметь корней? Приведите примеры.

б) Может ли линейное уравнение с одним неизвестным иметь единственный корень? Приведите примеры.

в) Может ли линейное уравнение с одним неизвестным иметь бесконечно много корней? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Линейное уравнение с одним неизвестным может не иметь корней. Это происходит в том случае, когда в результате преобразований уравнение приводится к виду $ax = b$, где коэффициент при неизвестном $a=0$, а свободный член $b \neq 0$. В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$ (где $b$ — любое число, не равное нулю). Такое равенство неверно при любом значении $x$, так как произведение нуля на любое число равно нулю, а правая часть не равна нулю.
Примеры:
1) $0 \cdot x = 5$. Равенство $0=5$ является ложным, следовательно, уравнение не имеет корней.
2) $3x - 2 = 3x + 4$. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую: $3x - 3x = 4 + 2$. Это приводит к уравнению $0 \cdot x = 6$. Так как $0 \neq 6$, уравнение не имеет корней.
Ответ: Да, может.

б) Линейное уравнение с одним неизвестным может иметь единственный корень. Это наиболее распространенный случай, который возникает, когда коэффициент при неизвестном $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Общий вид такого уравнения — $ax = b$. Его единственный корень находится по формуле $x = \frac{b}{a}$.
Примеры:
1) $5x = 20$. Здесь $a=5, b=20$. Корень уравнения: $x = \frac{20}{5} = 4$.
2) $7x + 1 = 15$. Перенесем 1 в правую часть: $7x = 15 - 1$, что дает $7x = 14$. Корень уравнения: $x = \frac{14}{7} = 2$.
Ответ: Да, может.

в) Линейное уравнение с одним неизвестным может иметь бесконечно много корней. Это происходит, когда в результате преобразований уравнение приводится к виду $ax = b$, где и коэффициент при неизвестном $a=0$, и свободный член $b=0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство является верным при любом значении $x$, поскольку любое число при умножении на 0 дает 0. Такое уравнение называют тождеством.
Примеры:
1) $0 \cdot x = 0$. Корнем этого уравнения является любое число.
2) $2(x+4) = 2x+8$. Раскроем скобки в левой части: $2x+8 = 2x+8$. Перенесем слагаемые: $2x - 2x = 8 - 8$. Это приводит к уравнению $0 \cdot x = 0$. Уравнение имеет бесконечно много корней.
Ответ: Да, может.