Страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

663. a) На рыбалке отец с сыном поймали 15 рыбок. Сколько поймал сын, если отец поймал больше сына на 3 рыбки?

б) Масса ведра с водой 10 кг. Какова масса ведра, если известно, что оно на 9 кг легче воды в нём?

а)

Данную задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Арифметический (по действиям)
1. Известно, что отец поймал на 3 рыбки больше. Если мы уберем эту "избыточную" разницу из общего улова, то количество рыбок у отца и сына станет равным.
$15 - 3 = 12$ (рыбок)
2. Эти 12 рыбок составляют удвоенное количество улова сына (так как теперь у них поровну). Чтобы найти, сколько поймал сын, нужно разделить это число на 2.
$12 \div 2 = 6$ (рыбок)
Таким образом, сын поймал 6 рыбок. Для проверки: улов отца составляет $6 + 3 = 9$ рыбок. Общий улов: $6 + 9 = 15$ рыбок, что соответствует условию.

Способ 2: Алгебраический (с помощью уравнения)
Пусть $x$ — количество рыбок, которое поймал сын. Тогда, согласно условию, отец поймал $(x + 3)$ рыбки. Вместе они поймали 15 рыбок. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 3) = 15$
$2x + 3 = 15$
$2x = 15 - 3$
$2x = 12$
$x = 6$
Уравнение показывает, что сын поймал 6 рыбок.

Ответ: сын поймал 6 рыбок.

б)

Эта задача решается по тому же принципу, что и предыдущая.

Способ 1: Арифметический (по действиям)
1. Известно, что ведро на 9 кг легче воды, а значит, вода на 9 кг тяжелее ведра. Если вычесть эту разницу в массе из общей массы, мы получим удвоенную массу ведра.
$10 - 9 = 1$ (кг)
2. Эта масса в 1 кг равна удвоенной массе ведра. Чтобы найти массу самого ведра, разделим 1 кг на 2.
$1 \div 2 = 0,5$ (кг)
Таким образом, масса ведра — 0,5 кг. Для проверки: масса воды составляет $0,5 + 9 = 9,5$ кг. Общая масса: $0,5 + 9,5 = 10$ кг, что соответствует условию.

Способ 2: Алгебраический (с помощью уравнения)
Пусть $m$ — масса ведра в кг. По условию, масса воды на 9 кг больше, то есть $(m + 9)$ кг. Общая масса ведра с водой — 10 кг. Составим и решим уравнение:
$m + (m + 9) = 10$
$2m + 9 = 10$
$2m = 10 - 9$
$2m = 1$
$m = 0,5$
Решение уравнения показывает, что масса ведра равна 0,5 кг.

Ответ: масса ведра 0,5 кг.

664. a) Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его длину и ширину, если длина на 8 см больше ширины.

б) Периметр прямоугольника равен 20 см. Длина в 5 раз больше ширины. Найдите длину и ширину этого прямоугольника.

в) Найдите длину и ширину прямоугольника, если известно, что ширина на 1 см меньше длины, а периметр равен 20 см.

а)

Обозначим ширину прямоугольника как $x$ см. По условию, длина на 8 см больше ширины, следовательно, длина будет равна $(x + 8)$ см.

Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$, где $a$ — длина, а $b$ — ширина.

Подставим наши значения в формулу, зная, что периметр равен 20 см:

$20 = 2((x + 8) + x)$

Решим полученное уравнение:

$20 = 2(2x + 8)$

$20 = 4x + 16$

$20 - 16 = 4x$

$4 = 4x$

$x = 1$

Таким образом, ширина прямоугольника равна 1 см.

Теперь найдем длину: $a = x + 8 = 1 + 8 = 9$ см.

Проверка: $2(9 + 1) = 2 \cdot 10 = 20$ см. Все верно.

Ответ: длина прямоугольника — 9 см, ширина — 1 см.

б)

Обозначим ширину прямоугольника как $x$ см. По условию, длина в 5 раз больше ширины, следовательно, длина равна $5x$ см.

Используем формулу периметра $P = 2(a + b)$ и подставим известные данные:

$20 = 2(5x + x)$

Решим уравнение:

$20 = 2(6x)$

$20 = 12x$

$x = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Итак, ширина прямоугольника равна $\frac{5}{3}$ см, что можно записать как $1\frac{2}{3}$ см.

Найдем длину: $a = 5x = 5 \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{3}$ см, что равно $8\frac{1}{3}$ см.

Проверка: $2(\frac{25}{3} + \frac{5}{3}) = 2(\frac{30}{3}) = 2 \cdot 10 = 20$ см. Все верно.

Ответ: длина этого прямоугольника — $8\frac{1}{3}$ см, ширина — $1\frac{2}{3}$ см.

в)

Обозначим длину прямоугольника как $x$ см. По условию, ширина на 1 см меньше длины, значит, ширина равна $(x - 1)$ см.

Подставим значения в формулу периметра $P = 2(a + b)$:

$20 = 2(x + (x - 1))$

Решим уравнение:

$20 = 2(2x - 1)$

$20 = 4x - 2$

$22 = 4x$

$x = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5,5$

Таким образом, длина прямоугольника равна 5,5 см.

Найдем ширину: $b = x - 1 = 5,5 - 1 = 4,5$ см.

Проверка: $2(5,5 + 4,5) = 2 \cdot 10 = 20$ см. Все верно.

Ответ: длина прямоугольника — 5,5 см, ширина — 4,5 см.

665. a) Сумма двух последовательных чётных чисел равна 38. Найдите эти числа.

б) Сумма трёх последовательных чётных чисел равна 18. Найдите эти числа.

в) Сумма двух последовательных нечётных чисел равна 24. Найдите эти числа.

г) Сумма трёх последовательных нечётных чисел равна 21. Найдите эти числа.

а)

Пусть первое последовательное чётное число равно $x$. Так как числа чётные и последовательные, следующее за ним число будет $x + 2$. Сумма этих чисел по условию равна 38. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 2) = 38$

$2x + 2 = 38$

$2x = 38 - 2$

$2x = 36$

$x = 36 / 2$

$x = 18$

Первое число равно 18. Второе число равно $18 + 2 = 20$.

Проверка: $18 + 20 = 38$.

Ответ: 18 и 20.

б)

Пусть среднее из трёх последовательных чётных чисел равно $x$. Тогда первое число будет $x - 2$, а третье — $x + 2$. Их сумма по условию равна 18. Составим и решим уравнение:

$(x - 2) + x + (x + 2) = 18$

$3x = 18$

$x = 18 / 3$

$x = 6$

Среднее число равно 6. Первое число: $6 - 2 = 4$. Третье число: $6 + 2 = 8$.

Проверка: $4 + 6 + 8 = 18$.

Ответ: 4, 6 и 8.

в)

Пусть первое последовательное нечётное число равно $x$. Так как числа нечётные и последовательные, следующее за ним число будет $x + 2$. Сумма этих чисел по условию равна 24. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 2) = 24$

$2x + 2 = 24$

$2x = 24 - 2$

$2x = 22$

$x = 22 / 2$

$x = 11$

Первое число равно 11. Второе число равно $11 + 2 = 13$.

Проверка: $11 + 13 = 24$.

Ответ: 11 и 13.

г)

Пусть среднее из трёх последовательных нечётных чисел равно $x$. Тогда первое число будет $x - 2$, а третье — $x + 2$. Их сумма по условию равна 21. Составим и решим уравнение:

$(x - 2) + x + (x + 2) = 21$

$3x = 21$

$x = 21 / 3$

$x = 7$

Среднее число равно 7. Первое число: $7 - 2 = 5$. Третье число: $7 + 2 = 9$.

Проверка: $5 + 7 + 9 = 21$.

Ответ: 5, 7 и 9.

666. a) Груз массой 6,5 т перевозили на трёх грузовиках. На первом и втором грузовиках вместе было на 0,1 т больше, чем на третьем, а на первом — на 1,5 т больше, чем на втором. Сколько тонн груза было на каждом грузовике в отдельности?

б) На трёх полках стоят книги. На первой — на 4 книги меньше, чем на второй, а на третьей — в два раза меньше, чем на первой и второй вместе. Сколько книг стоит на каждой полке, если их всего 96?

а)

Пусть масса груза на первом, втором и третьем грузовиках составляет $x_1$, $x_2$ и $x_3$ тонн соответственно.
Согласно условиям задачи, можно составить следующую систему уравнений:
1. Общая масса груза: $x_1 + x_2 + x_3 = 6,5$
2. Масса на первом и втором грузовиках вместе: $x_1 + x_2 = x_3 + 0,1$
3. Масса на первом грузовике по сравнению со вторым: $x_1 = x_2 + 1,5$

Для решения системы подставим выражение для суммы $(x_1 + x_2)$ из второго уравнения в первое:
$(x_3 + 0,1) + x_3 = 6,5$
$2x_3 + 0,1 = 6,5$
$2x_3 = 6,5 - 0,1$
$2x_3 = 6,4$
$x_3 = 3,2$
Таким образом, на третьем грузовике было 3,2 тонны груза.

Теперь, зная $x_3$, мы можем найти сумму масс на первом и втором грузовиках из второго уравнения:
$x_1 + x_2 = 3,2 + 0,1 = 3,3$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$x_1 + x_2 = 3,3$
$x_1 = x_2 + 1,5$

Подставим выражение для $x_1$ из второго уравнения в первое:
$(x_2 + 1,5) + x_2 = 3,3$
$2x_2 + 1,5 = 3,3$
$2x_2 = 3,3 - 1,5$
$2x_2 = 1,8$
$x_2 = 0,9$
Следовательно, на втором грузовике было 0,9 тонны груза.

Наконец, найдем массу груза на первом грузовике:
$x_1 = x_2 + 1,5 = 0,9 + 1,5 = 2,4$
На первом грузовике было 2,4 тонны груза.

Ответ: на первом грузовике было 2,4 т, на втором — 0,9 т, на третьем — 3,2 т.

б)

Пусть на первой, второй и третьей полках находится $k_1$, $k_2$ и $k_3$ книг соответственно.
Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Общее количество книг: $k_1 + k_2 + k_3 = 96$
2. Книг на первой полке: $k_1 = k_2 - 4$
3. Книг на третьей полке: $k_3 = \frac{k_1 + k_2}{2}$

Из третьего уравнения выразим сумму $(k_1 + k_2) = 2k_3$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$2k_3 + k_3 = 96$
$3k_3 = 96$
$k_3 = \frac{96}{3} = 32$
Итак, на третьей полке находится 32 книги.

Теперь найдем общее количество книг на первой и второй полках:
$k_1 + k_2 = 2k_3 = 2 \cdot 32 = 64$

У нас осталась система из двух уравнений:
$k_1 + k_2 = 64$
$k_1 = k_2 - 4$

Подставим выражение для $k_1$ из второго уравнения в первое:
$(k_2 - 4) + k_2 = 64$
$2k_2 - 4 = 64$
$2k_2 = 68$
$k_2 = \frac{68}{2} = 34$
На второй полке находится 34 книги.

Теперь найдем количество книг на первой полке:
$k_1 = k_2 - 4 = 34 - 4 = 30$
На первой полке находится 30 книг.

Ответ: на первой полке — 30 книг, на второй — 34 книги, на третьей — 32 книги.