Страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

681. Исследуем.

а) При каком a пара чисел (3; -2) является решением уравнения $3x - ay - 4 = 0$?

б) При каком b пара чисел (-1; -4) является решением уравнения $bx - 7y - 3 = 0$?

а)

Если пара чисел $(3; -2)$ является решением уравнения $3x - ay - 4 = 0$, то при подстановке $x = 3$ и $y = -2$ в уравнение мы должны получить верное числовое равенство.

Подставим значения $x$ и $y$ в уравнение:

$3 \cdot 3 - a \cdot (-2) - 4 = 0$

Упростим полученное выражение:

$9 + 2a - 4 = 0$

$5 + 2a = 0$

Теперь решим это уравнение относительно $a$:

$2a = -5$

$a = -5 / 2$

$a = -2.5$

Ответ: $a = -2.5$.

б)

Аналогично, если пара чисел $(-1; -4)$ является решением уравнения $bx - 7y - 3 = 0$, то при подстановке $x = -1$ и $y = -4$ в уравнение мы должны получить верное числовое равенство.

Подставим значения $x$ и $y$ в уравнение:

$b \cdot (-1) - 7 \cdot (-4) - 3 = 0$

Упростим полученное выражение:

$-b + 28 - 3 = 0$

$-b + 25 = 0$

Теперь решим это уравнение относительно $b$:

$-b = -25$

$b = 25$

Ответ: $b = 25$.

682. Сколько решений имеет уравнение $x - y + 1 = 0$?

Данное уравнение $x - y + 1 = 0$ является линейным уравнением с двумя переменными, $x$ и $y$. Решением такого уравнения называется любая пара чисел $(x, y)$, которая обращает это уравнение в верное равенство.

Для анализа количества решений выразим одну переменную через другую. Преобразуем уравнение, чтобы выразить $y$:
$x - y + 1 = 0$
Перенесем $y$ в правую часть уравнения, чтобы оно стало положительным:
$x + 1 = y$
Таким образом, мы получили зависимость $y = x + 1$.

Это соотношение показывает, что для любого произвольно выбранного значения переменной $x$ мы можем однозначно вычислить соответствующее значение переменной $y$. Поскольку в качестве $x$ можно взять любое действительное число, а множество действительных чисел бесконечно, то и количество пар $(x, y)$, являющихся решениями, также бесконечно.

Приведем несколько примеров решений:
- Если $x = 0$, то $y = 0 + 1 = 1$. Решение: $(0, 1)$.
- Если $x = 1$, то $y = 1 + 1 = 2$. Решение: $(1, 2)$.
- Если $x = -3$, то $y = -3 + 1 = -2$. Решение: $(-3, -2)$.

Геометрически уравнение $y = x + 1$ является уравнением прямой линии на координатной плоскости. Каждая точка на этой прямой имеет координаты $(x, y)$, которые являются решением уравнения. Так как прямая состоит из бесконечного множества точек, то и уравнение имеет бесконечное множество решений.

Ответ: уравнение имеет бесконечно много решений.