Страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

658. Найдите два числа, сумма которых равна 86 и одно число на 12 больше другого.

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод. Пусть меньшее из двух чисел равно $x$.

Согласно условию, второе число на 12 больше первого. Следовательно, его можно выразить как $x + 12$.

Сумма этих двух чисел равна 86. На основании этого составим уравнение:

$x + (x + 12) = 86$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$. Сначала раскроем скобки и объединим подобные слагаемые:

$2x + 12 = 86$

Далее, перенесем 12 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:

$2x = 86 - 12$

$2x = 74$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{74}{2}$

$x = 37$

Таким образом, мы нашли меньшее число — оно равно 37.

Теперь найдем второе, большее число, прибавив к меньшему 12:

$37 + 12 = 49$

Проведем проверку: найдем сумму полученных чисел $37 + 49 = 86$ и их разность $49 - 37 = 12$. Оба условия задачи выполняются.

Ответ: искомые числа — 37 и 49.

659. а) В трёх школах 3230 учащихся. Во второй школе на 420 учащихся больше, чем в первой, а в третьей — на 350 учащихся больше, чем в первой. Сколько учащихся в каждой школе?

б) На трёх полках 276 книг. Сколько книг на каждой полке, если на второй полке на 16 книг больше, чем на первой, а на третьей — в два раза больше книг, чем на первой?

в) Периметр треугольника равен 70 см. Определите стороны треугольника, если первая сторона в три раза больше второй и на 7 см больше третьей стороны.

г) В трёх цехах завода работают 2400 человек. В первом цехе вдвое больше рабочих, чем во втором, а в третьем — на 200 рабочих меньше, чем во втором. Сколько рабочих в каждом цехе?

а)

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — количество учащихся в первой школе. Исходя из условий задачи, количество учащихся во второй школе составляет $(x + 420)$, а в третьей — $(x + 350)$. Общее количество учащихся во всех трёх школах равно 3230.

Составим уравнение, сложив количество учащихся в каждой школе:

$x + (x + 420) + (x + 350) = 3230$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$3x + 770 = 3230$

Перенесём 770 в правую часть уравнения:

$3x = 3230 - 770$

$3x = 2460$

Найдём $x$:

$x = 2460 / 3$

$x = 820$

Итак, в первой школе 820 учащихся. Теперь найдём количество учащихся в остальных школах:

Во второй школе: $820 + 420 = 1240$ учащихся.

В третьей школе: $820 + 350 = 1170$ учащихся.

Проверка: $820 + 1240 + 1170 = 3230$.

Ответ: в первой школе 820 учащихся, во второй — 1240 учащихся, в третьей — 1170 учащихся.

б)

Пусть $x$ — количество книг на первой полке. Тогда на второй полке находится $(x + 16)$ книг, а на третьей — $2x$ книг. Общее количество книг на трёх полках — 276.

Составим и решим уравнение:

$x + (x + 16) + 2x = 276$

Упростим выражение:

$4x + 16 = 276$

$4x = 276 - 16$

$4x = 260$

$x = 260 / 4$

$x = 65$

На первой полке 65 книг. Найдём количество книг на других полках:

На второй полке: $65 + 16 = 81$ книга.

На третьей полке: $2 \cdot 65 = 130$ книг.

Проверка: $65 + 81 + 130 = 276$.

Ответ: на первой полке 65 книг, на второй — 81 книга, на третьей — 130 книг.

в)

Пусть $x$ см — длина второй стороны треугольника. Тогда, согласно условию, первая сторона в три раза больше, и её длина равна $3x$ см. Также известно, что первая сторона на 7 см больше третьей, следовательно, третья сторона на 7 см меньше первой, и её длина составляет $(3x - 7)$ см. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, и он равен 70 см.

Составим уравнение:

$3x + x + (3x - 7) = 70$

Решим уравнение:

$7x - 7 = 70$

$7x = 70 + 7$

$7x = 77$

$x = 77 / 7$

$x = 11$

Длина второй стороны равна 11 см. Теперь найдём длины остальных сторон:

Первая сторона: $3 \cdot 11 = 33$ см.

Третья сторона: $33 - 7 = 26$ см.

Проверка: $33 + 11 + 26 = 70$.

Ответ: стороны треугольника равны 33 см, 11 см и 26 см.

г)

Пусть $x$ — количество рабочих во втором цехе. Тогда в первом цехе работает вдвое больше, то есть $2x$ рабочих. В третьем цехе на 200 рабочих меньше, чем во втором, то есть $(x - 200)$ рабочих. Всего в трёх цехах работает 2400 человек.

Составим уравнение, сложив количество рабочих во всех цехах:

$2x + x + (x - 200) = 2400$

Решим полученное уравнение:

$4x - 200 = 2400$

$4x = 2400 + 200$

$4x = 2600$

$x = 2600 / 4$

$x = 650$

Во втором цехе работает 650 человек. Найдём количество рабочих в других цехах:

В первом цехе: $2 \cdot 650 = 1300$ рабочих.

В третьем цехе: $650 - 200 = 450$ рабочих.

Проверка: $1300 + 650 + 450 = 2400$.

Ответ: в первом цехе 1300 рабочих, во втором — 650 рабочих, в третьем — 450 рабочих.

660. а) За 2 кг яблок и 1 кг слив заплатили 180 р. Сколько стоит один килограмм яблок и один килограмм слив, если килограмм яблок на 15 р. дороже килограмма слив?

б) От одного города до другого пассажирский поезд идёт 4 ч, а машина — 5 ч. Какова скорость поезда, если скорость машины меньше на 10 км/ч?

а)

Обозначим стоимость одного килограмма слив за $x$ рублей. Согласно условию, килограмм яблок на 15 рублей дороже, значит, его стоимость составляет $(x + 15)$ рублей. За 2 кг яблок заплатили $2 \cdot (x + 15)$ рублей, а за 1 кг слив — $x$ рублей. Общая стоимость покупки — 180 рублей. Составим и решим уравнение:

$2 \cdot (x + 15) + x = 180$

$2x + 30 + x = 180$

$3x + 30 = 180$

$3x = 180 - 30$

$3x = 150$

$x = \frac{150}{3}$

$x = 50$

Таким образом, стоимость 1 кг слив равна 50 рублям. Теперь найдем стоимость 1 кг яблок:

$50 + 15 = 65$ рублей.

Проверка: $2 \cdot 65 + 50 = 130 + 50 = 180$. Условие выполняется.

Ответ: один килограмм яблок стоит 65 рублей, а один килограмм слив — 50 рублей.

б)

Пусть скорость поезда равна $v$ км/ч. По условию, скорость машины на 10 км/ч меньше, следовательно, она равна $(v - 10)$ км/ч. Расстояние (S) вычисляется по формуле $S = \text{скорость} \cdot \text{время}$. Поезд находится в пути 4 часа, значит, расстояние между городами равно $4v$ км. Машина находится в пути 5 часов, значит, то же расстояние равно $5 \cdot (v - 10)$ км. Так как расстояние одинаково, мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение:

$4v = 5 \cdot (v - 10)$

$4v = 5v - 50$

$50 = 5v - 4v$

$v = 50$

Следовательно, скорость поезда составляет 50 км/ч. Скорость машины: $50 - 10 = 40$ км/ч.

Проверка: расстояние, пройденное поездом $50 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 200 \text{ км}$. Расстояние, пройденное машиной $40 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 200 \text{ км}$. Расстояния равны, условие выполняется.

Ответ: скорость поезда 50 км/ч.

661. Надо разменять 100 р. монетами по 2 р. и 5 р. так, чтобы всех монет было 26. Сколько должно быть монет по 2 р.?

Для решения этой задачи можно составить систему уравнений. Пусть $x$ — количество монет номиналом 2 рубля, а $y$ — количество монет номиналом 5 рублей.

Согласно условиям задачи, у нас есть два утверждения:

1. Общее количество монет равно 26. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = 26$

2. Общая сумма денег составляет 100 рублей. Стоимость всех двухрублевых монет равна $2x$, а всех пятирублевых — $5y$. Это дает нам второе уравнение:

$2x + 5y = 100$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x + y = 26 \\ 2x + 5y = 100 \end{cases} $

Решим эту систему. Удобно использовать метод подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = 26 - x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2x + 5(26 - x) = 100$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x + 5 \cdot 26 - 5x = 100$

$2x + 130 - 5x = 100$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$130 - 3x = 100$

Перенесем 130 в правую часть с противоположным знаком:

$-3x = 100 - 130$

$-3x = -30$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -3:

$x = \frac{-30}{-3}$

$x = 10$

Итак, мы нашли, что количество монет по 2 рубля равно 10. Для проверки найдем количество пятирублевых монет:

$y = 26 - x = 26 - 10 = 16$

Проверим, соответствует ли общая сумма условию задачи:

$2 \cdot 10 + 5 \cdot 16 = 20 + 80 = 100$ рублей.

Все условия выполнены. Количество монет по 2 рубля — 10 штук.

Ответ: должно быть 10 монет по 2 р.

662. На путь по течению реки пароход затратил 3 ч, а на обратный путь — 5 ч. Скорость течения $5 \text{ км/ч}$. Какова скорость парохода в стоячей воде?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $v$ — это собственная скорость парохода в стоячей воде (в км/ч), которую нам нужно найти.

Из условия задачи нам известны следующие величины:
- Время движения по течению: $t_1 = 3$ ч.
- Время движения на обратном пути (против течения): $t_2 = 5$ ч.
- Скорость течения реки: $v_т = 5$ км/ч.

Скорость парохода при движении по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения:
$v_{по\;течению} = v + v_т = v + 5$ км/ч.

Скорость парохода при движении против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения:
$v_{против\;течения} = v - v_т = v - 5$ км/ч.

Пароход прошел одинаковое расстояние $S$ как по течению, так и против течения. Расстояние вычисляется по формуле "расстояние = скорость × время" ($S = V \cdot t$). Поэтому мы можем записать выражения для расстояния для обоих направлений и приравнять их.
Расстояние по течению: $S = (v + 5) \cdot 3$
Расстояние против течения: $S = (v - 5) \cdot 5$

Составим и решим уравнение:
$3(v + 5) = 5(v - 5)$
Раскроем скобки:
$3v + 15 = 5v - 25$
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $v$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:
$15 + 25 = 5v - 3v$
Упростим обе части:
$40 = 2v$
Найдем $v$:
$v = \frac{40}{2}$
$v = 20$

Таким образом, скорость парохода в стоячей воде составляет 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч.