Страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

667. a) Какое уравнение называют уравнением первой степени с двумя неизвестными? Приведите примеры.

б) Что называют решением уравнения первой степени с двумя неизвестными? Приведите примеры.

a) Уравнением первой степени с двумя неизвестными (или линейным уравнением с двумя переменными) называют уравнение, которое можно привести к виду $ax + by = c$.

В этом уравнении:

• $x$ и $y$ — это переменные (неизвестные).
• $a$, $b$ и $c$ — это некоторые числа, называемые коэффициентами. При этом хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не должен быть равен нулю. Если $a=0$ и $b=0$ одновременно, то при $c=0$ уравнение превращается в тождество $0=0$, а при $c \neq 0$ — в неверное равенство $0=c$, и в обоих случаях оно не является уравнением первой степени с двумя неизвестными.

Примеры:

• $5x + 2y = 10$ (здесь $a=5, b=2, c=10$)
• $y - 3x = 0$ (можно переписать как $-3x + y = 0$, где $a=-3, b=1, c=0$)
• $4x = 20$ (можно рассматривать как уравнение с двумя переменными, где коэффициент при $y$ равен нулю: $4x + 0y = 20$, где $a=4, b=0, c=20$)
• $-\frac{1}{2}y = 3$ (здесь коэффициент при $x$ равен нулю: $0x - \frac{1}{2}y = 3$, где $a=0, b=-\frac{1}{2}, c=3$)

Ответ: Уравнение первой степени с двумя неизвестными — это уравнение вида $ax + by = c$, где $x, y$ — переменные, а $a, b, c$ — числа, причем $a$ и $b$ одновременно не равны нулю. Пример: $7x - 3y = 1$.

б) Решением уравнения первой степени с двумя неизвестными называют упорядоченную пару значений переменных ($x_0; y_0$), при подстановке которых в уравнение оно обращается в верное числовое равенство.

Каждое такое уравнение, если оно имеет решение, то имеет их бесконечное множество. Решение принято записывать в виде пары чисел в круглых скобках, например $(x_0; y_0)$, где на первом месте всегда стоит значение переменной $x$, а на втором — значение переменной $y$.

Примеры:

Рассмотрим уравнение $2x + y = 5$.

• Проверим, является ли пара $(1; 3)$ решением. Подставим $x=1$ и $y=3$ в уравнение: $2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$. Так как $5 = 5$, равенство верное, значит, пара $(1; 3)$ является решением этого уравнения.
• Проверим пару $(4; -3)$. Подставим $x=4$ и $y=-3$ в уравнение: $2 \cdot 4 + (-3) = 8 - 3 = 5$. Равенство $5 = 5$ верное, следовательно, пара $(4; -3)$ также является решением.
• Проверим пару $(2; 2)$. Подставим $x=2$ и $y=2$: $2 \cdot 2 + 2 = 4 + 2 = 6$. Так как $6 \neq 5$, равенство неверное, значит, пара $(2; 2)$ не является решением этого уравнения.

Ответ: Решением уравнения первой степени с двумя неизвестными называется пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство. Например, для уравнения $x - y = 2$ пара чисел $(5; 3)$ является решением, так как $5 - 3 = 2$.

668. Назовите члены уравнения $5x - 2y + 3 = 0$, коэффициенты при $x$ и $y$, свободный член.

Члены уравнения
Линейное уравнение с двумя переменными в общем виде записывается как $ax + by + c = 0$. Члены этого уравнения – это слагаемые, из которых состоит его левая часть. Для данного уравнения $5x - 2y + 3 = 0$ членами являются $5x$, $-2y$ и $3$.
Ответ: Члены уравнения: $5x$, $-2y$, $3$.

Коэффициенты при x и y
Коэффициенты – это числовые множители при переменных. В члене $5x$ множитель при переменной $x$ равен $5$. Это коэффициент при $x$. В члене $-2y$ множитель при переменной $y$ равен $-2$. Это коэффициент при $y$.
Ответ: Коэффициент при $x$ равен $5$, коэффициент при $y$ равен $-2$.

Свободный член
Свободный член – это член уравнения, который не содержит переменных (является константой). В уравнении $5x - 2y + 3 = 0$ этим членом является число $3$.
Ответ: Свободный член равен $3$.

669. Является ли данное уравнение уравнением первой степени с двумя неизвестными (если да, то назовите коэффициенты при неизвестных и свободный член):

а) $3x - y + 5 = 0;$

б) $2x - 5y - 1 = 0;$

в) $2x + 3y - 1 = 0;$

г) $0 \cdot x - 5y - 4 = 0;$

д) $5x - 4 = 0;$

е) $0 \cdot x + 0 \cdot y = 0;$

ж) $2y - 3x + 4 = 0;$

з) $x - 0 \cdot y - 3 = 0?$

Уравнение первой степени с двумя неизвестными имеет общий вид $ax + by + c = 0$, где $x$ и $y$ — неизвестные, $a$, $b$, $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ должен быть не равен нулю.

а) Уравнение $3x - y + 5 = 0$ соответствует общему виду $ax + by + c = 0$.
Коэффициент при $x$ это $a=3$.
Коэффициент при $y$ это $b=-1$.
Свободный член это $c=5$.
Поскольку коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю, данное уравнение является уравнением первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен 3, коэффициент при $y$ равен -1, свободный член равен 5.

б) Уравнение $2x - 5y - 1 = 0$ соответствует общему виду $ax + by + c = 0$.
Коэффициент при $x$: $a=2$.
Коэффициент при $y$: $b=-5$.
Свободный член: $c=-1$.
Так как коэффициенты при переменных ($a=2$, $b=-5$) не равны нулю одновременно, это уравнение первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен 2, коэффициент при $y$ равен -5, свободный член равен -1.

в) Уравнение $2x + 3y - 1 = 0$ соответствует общему виду $ax + by + c = 0$.
Коэффициент при $x$: $a=2$.
Коэффициент при $y$: $b=3$.
Свободный член: $c=-1$.
Коэффициенты при переменных $a$ и $b$ отличны от нуля, следовательно, это уравнение первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен 2, коэффициент при $y$ равен 3, свободный член равен -1.

г) Уравнение $0 \cdot x - 5y - 4 = 0$ можно записать в виде $0x + (-5)y + (-4) = 0$. Оно соответствует общему виду $ax + by + c = 0$.
Коэффициент при $x$: $a=0$.
Коэффициент при $y$: $b=-5$.
Свободный член: $c=-4$.
По определению, уравнение является уравнением первой степени с двумя неизвестными, если хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не равен нулю. В данном случае $b=-5 \ne 0$, поэтому уравнение является таковым.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен 0, коэффициент при $y$ равен -5, свободный член равен -4.

д) Уравнение $5x - 4 = 0$ можно представить в виде с двумя переменными, если добавить слагаемое с $y$, умноженное на ноль: $5x + 0 \cdot y - 4 = 0$. Это соответствует общему виду $ax + by + c = 0$.
Коэффициент при $x$: $a=5$.
Коэффициент при $y$: $b=0$.
Свободный член: $c=-4$.
Так как коэффициент $a=5 \ne 0$, условие выполняется, и это уравнение первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен 5, коэффициент при $y$ равен 0, свободный член равен -4.

е) В уравнении $0 \cdot x + 0 \cdot y = 0$ коэффициенты при обеих переменных равны нулю: $a=0$ и $b=0$. Уравнение первой степени с двумя неизвестными вида $ax + by + c = 0$ требует, чтобы хотя бы один из коэффициентов, $a$ или $b$, был отличен от нуля. Поскольку это условие не выполняется, данное уравнение не является уравнением первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Нет, не является.

ж) Переставим слагаемые, чтобы привести уравнение $2y - 3x + 4 = 0$ к стандартному виду $ax + by + c = 0$: $-3x + 2y + 4 = 0$.
Коэффициент при $x$: $a=-3$.
Коэффициент при $y$: $b=2$.
Свободный член: $c=4$.
Оба коэффициента при переменных не равны нулю, поэтому это уравнение первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен -3, коэффициент при $y$ равен 2, свободный член равен 4.

з) Уравнение $x - 0 \cdot y - 3 = 0$ можно записать в стандартном виде как $1 \cdot x + 0 \cdot y - 3 = 0$.
Коэффициент при $x$: $a=1$.
Коэффициент при $y$: $b=0$.
Свободный член: $c=-3$.
Поскольку коэффициент при $x$ не равен нулю ($a=1 \ne 0$), данное уравнение является уравнением первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен 1, коэффициент при $y$ равен 0, свободный член равен -3.