Номер 669, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.1. Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 669, страница 184.

Условие.

669. Является ли данное уравнение уравнением первой степени с двумя неизвестными (если да, то назовите коэффициенты при неизвестных и свободный член):

а) $3x - y + 5 = 0;$

б) $2x - 5y - 1 = 0;$

в) $2x + 3y - 1 = 0;$

г) $0 \cdot x - 5y - 4 = 0;$

д) $5x - 4 = 0;$

е) $0 \cdot x + 0 \cdot y = 0;$

ж) $2y - 3x + 4 = 0;$

з) $x - 0 \cdot y - 3 = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Уравнение первой степени с двумя неизвестными имеет общий вид $ax + by + c = 0$, где $x$ и $y$ — неизвестные, $a$, $b$, $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ должен быть не равен нулю.

а) Уравнение $3x - y + 5 = 0$ соответствует общему виду $ax + by + c = 0$.
Коэффициент при $x$ это $a=3$.
Коэффициент при $y$ это $b=-1$.
Свободный член это $c=5$.
Поскольку коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю, данное уравнение является уравнением первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен 3, коэффициент при $y$ равен -1, свободный член равен 5.

б) Уравнение $2x - 5y - 1 = 0$ соответствует общему виду $ax + by + c = 0$.
Коэффициент при $x$: $a=2$.
Коэффициент при $y$: $b=-5$.
Свободный член: $c=-1$.
Так как коэффициенты при переменных ($a=2$, $b=-5$) не равны нулю одновременно, это уравнение первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен 2, коэффициент при $y$ равен -5, свободный член равен -1.

в) Уравнение $2x + 3y - 1 = 0$ соответствует общему виду $ax + by + c = 0$.
Коэффициент при $x$: $a=2$.
Коэффициент при $y$: $b=3$.
Свободный член: $c=-1$.
Коэффициенты при переменных $a$ и $b$ отличны от нуля, следовательно, это уравнение первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен 2, коэффициент при $y$ равен 3, свободный член равен -1.

г) Уравнение $0 \cdot x - 5y - 4 = 0$ можно записать в виде $0x + (-5)y + (-4) = 0$. Оно соответствует общему виду $ax + by + c = 0$.
Коэффициент при $x$: $a=0$.
Коэффициент при $y$: $b=-5$.
Свободный член: $c=-4$.
По определению, уравнение является уравнением первой степени с двумя неизвестными, если хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не равен нулю. В данном случае $b=-5 \ne 0$, поэтому уравнение является таковым.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен 0, коэффициент при $y$ равен -5, свободный член равен -4.

д) Уравнение $5x - 4 = 0$ можно представить в виде с двумя переменными, если добавить слагаемое с $y$, умноженное на ноль: $5x + 0 \cdot y - 4 = 0$. Это соответствует общему виду $ax + by + c = 0$.
Коэффициент при $x$: $a=5$.
Коэффициент при $y$: $b=0$.
Свободный член: $c=-4$.
Так как коэффициент $a=5 \ne 0$, условие выполняется, и это уравнение первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен 5, коэффициент при $y$ равен 0, свободный член равен -4.

е) В уравнении $0 \cdot x + 0 \cdot y = 0$ коэффициенты при обеих переменных равны нулю: $a=0$ и $b=0$. Уравнение первой степени с двумя неизвестными вида $ax + by + c = 0$ требует, чтобы хотя бы один из коэффициентов, $a$ или $b$, был отличен от нуля. Поскольку это условие не выполняется, данное уравнение не является уравнением первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Нет, не является.

ж) Переставим слагаемые, чтобы привести уравнение $2y - 3x + 4 = 0$ к стандартному виду $ax + by + c = 0$: $-3x + 2y + 4 = 0$.
Коэффициент при $x$: $a=-3$.
Коэффициент при $y$: $b=2$.
Свободный член: $c=4$.
Оба коэффициента при переменных не равны нулю, поэтому это уравнение первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен -3, коэффициент при $y$ равен 2, свободный член равен 4.

з) Уравнение $x - 0 \cdot y - 3 = 0$ можно записать в стандартном виде как $1 \cdot x + 0 \cdot y - 3 = 0$.
Коэффициент при $x$: $a=1$.
Коэффициент при $y$: $b=0$.
Свободный член: $c=-3$.
Поскольку коэффициент при $x$ не равен нулю ($a=1 \ne 0$), данное уравнение является уравнением первой степени с двумя неизвестными.
Ответ: Да, является. Коэффициент при $x$ равен 1, коэффициент при $y$ равен 0, свободный член равен -3.