Номер 667, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.1. Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 667, страница 184.

Условие.

667. a) Какое уравнение называют уравнением первой степени с двумя неизвестными? Приведите примеры.

б) Что называют решением уравнения первой степени с двумя неизвестными? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

a) Уравнением первой степени с двумя неизвестными (или линейным уравнением с двумя переменными) называют уравнение, которое можно привести к виду $ax + by = c$.

В этом уравнении:

• $x$ и $y$ — это переменные (неизвестные).
• $a$, $b$ и $c$ — это некоторые числа, называемые коэффициентами. При этом хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не должен быть равен нулю. Если $a=0$ и $b=0$ одновременно, то при $c=0$ уравнение превращается в тождество $0=0$, а при $c \neq 0$ — в неверное равенство $0=c$, и в обоих случаях оно не является уравнением первой степени с двумя неизвестными.

Примеры:

• $5x + 2y = 10$ (здесь $a=5, b=2, c=10$)
• $y - 3x = 0$ (можно переписать как $-3x + y = 0$, где $a=-3, b=1, c=0$)
• $4x = 20$ (можно рассматривать как уравнение с двумя переменными, где коэффициент при $y$ равен нулю: $4x + 0y = 20$, где $a=4, b=0, c=20$)
• $-\frac{1}{2}y = 3$ (здесь коэффициент при $x$ равен нулю: $0x - \frac{1}{2}y = 3$, где $a=0, b=-\frac{1}{2}, c=3$)

Ответ: Уравнение первой степени с двумя неизвестными — это уравнение вида $ax + by = c$, где $x, y$ — переменные, а $a, b, c$ — числа, причем $a$ и $b$ одновременно не равны нулю. Пример: $7x - 3y = 1$.

б) Решением уравнения первой степени с двумя неизвестными называют упорядоченную пару значений переменных ($x_0; y_0$), при подстановке которых в уравнение оно обращается в верное числовое равенство.

Каждое такое уравнение, если оно имеет решение, то имеет их бесконечное множество. Решение принято записывать в виде пары чисел в круглых скобках, например $(x_0; y_0)$, где на первом месте всегда стоит значение переменной $x$, а на втором — значение переменной $y$.

Примеры:

Рассмотрим уравнение $2x + y = 5$.

• Проверим, является ли пара $(1; 3)$ решением. Подставим $x=1$ и $y=3$ в уравнение: $2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$. Так как $5 = 5$, равенство верное, значит, пара $(1; 3)$ является решением этого уравнения.
• Проверим пару $(4; -3)$. Подставим $x=4$ и $y=-3$ в уравнение: $2 \cdot 4 + (-3) = 8 - 3 = 5$. Равенство $5 = 5$ верное, следовательно, пара $(4; -3)$ также является решением.
• Проверим пару $(2; 2)$. Подставим $x=2$ и $y=2$: $2 \cdot 2 + 2 = 4 + 2 = 6$. Так как $6 \neq 5$, равенство неверное, значит, пара $(2; 2)$ не является решением этого уравнения.

Ответ: Решением уравнения первой степени с двумя неизвестными называется пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство. Например, для уравнения $x - y = 2$ пара чисел $(5; 3)$ является решением, так как $5 - 3 = 2$.