Страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

695. Сколько решений имеет система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, если её коэффициенты при неизвестных отличны от нуля и непропорциональны?

Рассмотрим систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными $x$ и $y$ в общем виде:
$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$
Здесь $a_1, b_1, a_2, b_2$ — это коэффициенты при неизвестных, а $c_1, c_2$ — свободные члены.

Количество решений такой системы напрямую зависит от соотношения ее коэффициентов.Геометрически каждое такое уравнение представляет собой прямую на координатной плоскости. Решение системы — это точка (или точки) пересечения этих прямых.

Существует три возможных сценария:
1. Одно решение: Прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны. Условие для коэффициентов: $a_1/a_2 \neq b_1/b_2$.
2. Нет решений: Прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, но сдвиг по оси y различен. Условие для коэффициентов: $a_1/a_2 = b_1/b_2 \neq c_1/c_2$.
3. Бесконечно много решений: Прямые совпадают. Это происходит, когда оба уравнения по сути одинаковы. Условие для коэффициентов: $a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2$.

В условии задачи указано, что коэффициенты при неизвестных ($a_1, b_1, a_2, b_2$) отличны от нуля и непропорциональны.

Условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных математически записывается именно как:
$a_1/a_2 \neq b_1/b_2$

Это соотношение в точности соответствует первому случаю, когда система имеет единственное решение. Поскольку коэффициенты не пропорциональны, угловые коэффициенты прямых ($k_1 = -a_1/b_1$ и $k_2 = -a_2/b_2$) не равны между собой. Две прямые на плоскости с разными угловыми коэффициентами обязательно пересекутся, и притом только в одной точке. Координаты этой точки и будут являться единственным решением системы.

Ответ: Такая система имеет ровно одно решение.

Решите способом подстановки систему уравнений (696—697):

696. а) $ \begin{cases} x - 2y = 0, \\ 2x - 3y - 7 = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + 5y = 0, \\ 3x + 7y - 16 = 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y - 3x = 0, \\ x - 2y + 10 = 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 7x - y = 0, \\ 3x - y + 12 = 0. \end{cases} $

а)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x - 2y = 0 \\ 2x - 3y - 7 = 0 \end{cases}$
Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение.
1. Из первого уравнения $x - 2y = 0$ выразим переменную $x$:
$x = 2y$.
2. Подставим полученное выражение $x = 2y$ во второе уравнение системы $2x - 3y - 7 = 0$:
$2(2y) - 3y - 7 = 0$.
3. Решим полученное уравнение с одной переменной $y$:
$4y - 3y - 7 = 0$
$y - 7 = 0$
$y = 7$.
4. Теперь, зная значение $y$, найдем соответствующее значение $x$, подставив $y = 7$ в выражение $x = 2y$:
$x = 2 \cdot 7 = 14$.
Таким образом, решение системы — пара чисел $(14; 7)$.
Ответ: $(14; 7)$.

б)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + 5y = 0 \\ 3x + 7y - 16 = 0 \end{cases}$
1. Из первого уравнения $x + 5y = 0$ выразим переменную $x$:
$x = -5y$.
2. Подставим выражение $x = -5y$ во второе уравнение системы $3x + 7y - 16 = 0$:
$3(-5y) + 7y - 16 = 0$.
3. Решим полученное уравнение относительно $y$:
$-15y + 7y - 16 = 0$
$-8y - 16 = 0$
$-8y = 16$
$y = \frac{16}{-8} = -2$.
4. Найдем значение $x$, подставив $y = -2$ в выражение $x = -5y$:
$x = -5 \cdot (-2) = 10$.
Решением системы является пара чисел $(10; -2)$.
Ответ: $(10; -2)$.

в)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} y - 3x = 0 \\ x - 2y + 10 = 0 \end{cases}$
1. Из первого уравнения $y - 3x = 0$ выразим переменную $y$:
$y = 3x$.
2. Подставим полученное выражение $y = 3x$ во второе уравнение системы $x - 2y + 10 = 0$:
$x - 2(3x) + 10 = 0$.
3. Решим полученное уравнение относительно $x$:
$x - 6x + 10 = 0$
$-5x + 10 = 0$
$-5x = -10$
$x = \frac{-10}{-5} = 2$.
4. Найдем значение $y$, подставив $x = 2$ в выражение $y = 3x$:
$y = 3 \cdot 2 = 6$.
Решение системы — пара чисел $(2; 6)$.
Ответ: $(2; 6)$.

г)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} 7x - y = 0 \\ 3x - y + 12 = 0 \end{cases}$
1. Из первого уравнения $7x - y = 0$ удобно выразить переменную $y$:
$y = 7x$.
2. Подставим выражение $y = 7x$ во второе уравнение системы $3x - y + 12 = 0$:
$3x - (7x) + 12 = 0$.
3. Решим полученное уравнение относительно $x$:
$3x - 7x + 12 = 0$
$-4x + 12 = 0$
$-4x = -12$
$x = \frac{-12}{-4} = 3$.
4. Найдем значение $y$, подставив $x = 3$ в выражение $y = 7x$:
$y = 7 \cdot 3 = 21$.
Решение системы — пара чисел $(3; 21)$.
Ответ: $(3; 21)$.

697. а) $\begin{cases} x - y - 1 = 0, \\ x + y - 5 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y - 2 = 0, \\ x + y - 6 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y - 2 = 0, \\ 3x - 2y - 9 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 2y - 3 = 0, \\ 5x + y - 4 = 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x + 2y - 11 = 0, \\ 4x - 5y + 8 = 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} x + 4y - 2 = 0, \\ 3x + 8y - 2 = 0; \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 2x + 4y - 90 = 0, \\ x - 3y - 10 = 0; \end{cases}$

з) $\begin{cases} 3x - 2y - 4 = 0, \\ x + 5y - 7 = 0; \end{cases}$

и) $\begin{cases} 3x - 4y - 7 = 0, \\ x + 2y + 1 = 0; \end{cases}$

к) $\begin{cases} 7x - 2y - 6 = 0, \\ x + 4y + 12 = 0; \end{cases}$

л) $\begin{cases} x - y - 12 = 0, \\ 2x + 4y = 0; \end{cases}$

м) $\begin{cases} 2x + 3y - 3 = 0, \\ x - y + 6 = 0. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y - 1 = 0 \\ x + y - 5 = 0 \end{cases} $$ Это система линейных уравнений. Решим ее методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$(x - y - 1) + (x + y - 5) = 0 + 0$
$2x - 6 = 0$
$2x = 6$
$x = 3$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы:
$3 - y - 1 = 0$
$2 - y = 0$
$y = 2$
Ответ: $(3, 2)$

б) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ x + y - 6 = 0 \end{cases} $$ Решим методом сложения. Сложим уравнения:
$(x - y - 2) + (x + y - 6) = 0$
$2x - 8 = 0$
$2x = 8$
$x = 4$
Подставим значение $x$ в первое уравнение:
$4 - y - 2 = 0$
$2 - y = 0$
$y = 2$
Ответ: $(4, 2)$

в) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ 3x - 2y - 9 = 0 \end{cases} $$ Решим методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = y + 2$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3(y + 2) - 2y - 9 = 0$
$3y + 6 - 2y - 9 = 0$
$y - 3 = 0$
$y = 3$
Теперь найдем $x$:
$x = 3 + 2 = 5$
Ответ: $(5, 3)$

г) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y - 3 = 0 \\ 5x + y - 4 = 0 \end{cases} $$ Решим методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 4 - 5x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x - 2(4 - 5x) - 3 = 0$
$x - 8 + 10x - 3 = 0$
$11x - 11 = 0$
$11x = 11$
$x = 1$
Теперь найдем $y$:
$y = 4 - 5(1) = -1$
Ответ: $(1, -1)$

д) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y - 11 = 0 \\ 4x - 5y + 8 = 0 \end{cases} $$ Решим методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 11 - 2y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$4(11 - 2y) - 5y + 8 = 0$
$44 - 8y - 5y + 8 = 0$
$52 - 13y = 0$
$13y = 52$
$y = 4$
Теперь найдем $x$:
$x = 11 - 2(4) = 11 - 8 = 3$
Ответ: $(3, 4)$

е) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 4y - 2 = 0 \\ 3x + 8y - 2 = 0 \end{cases} $$ Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$-2(x + 4y - 2) = 0 \implies -2x - 8y + 4 = 0$
Теперь система выглядит так: $$ \begin{cases} -2x - 8y + 4 = 0 \\ 3x + 8y - 2 = 0 \end{cases} $$ Сложим уравнения:
$(-2x - 8y + 4) + (3x + 8y - 2) = 0$
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Подставим $x = -2$ в первое исходное уравнение:
$-2 + 4y - 2 = 0$
$4y - 4 = 0$
$4y = 4$
$y = 1$
Ответ: $(-2, 1)$

ж) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 4y - 90 = 0 \\ x - 3y - 10 = 0 \end{cases} $$ Упростим первое уравнение, разделив его на 2:
$x + 2y - 45 = 0$
Теперь система: $$ \begin{cases} x + 2y - 45 = 0 \\ x - 3y - 10 = 0 \end{cases} $$ Решим методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(x + 2y - 45) - (x - 3y - 10) = 0$
$x + 2y - 45 - x + 3y + 10 = 0$
$5y - 35 = 0$
$5y = 35$
$y = 7$
Подставим $y = 7$ во второе исходное уравнение:
$x - 3(7) - 10 = 0$
$x - 21 - 10 = 0$
$x = 31$
Ответ: $(31, 7)$

з) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 2y - 4 = 0 \\ x + 5y - 7 = 0 \end{cases} $$ Решим методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 7 - 5y$
Подставим в первое уравнение:
$3(7 - 5y) - 2y - 4 = 0$
$21 - 15y - 2y - 4 = 0$
$17 - 17y = 0$
$17y = 17$
$y = 1$
Найдем $x$:
$x = 7 - 5(1) = 2$
Ответ: $(2, 1)$

и) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 4y - 7 = 0 \\ x + 2y + 1 = 0 \end{cases} $$ Решим методом сложения. Умножим второе уравнение на 2:
$2(x + 2y + 1) = 0 \implies 2x + 4y + 2 = 0$
Сложим новое второе уравнение с первым:
$(3x - 4y - 7) + (2x + 4y + 2) = 0$
$5x - 5 = 0$
$5x = 5$
$x = 1$
Подставим $x = 1$ во второе исходное уравнение:
$1 + 2y + 1 = 0$
$2y + 2 = 0$
$2y = -2$
$y = -1$
Ответ: $(1, -1)$

к) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 7x - 2y - 6 = 0 \\ x + 4y + 12 = 0 \end{cases} $$ Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 2:
$2(7x - 2y - 6) = 0 \implies 14x - 4y - 12 = 0$
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(14x - 4y - 12) + (x + 4y + 12) = 0$
$15x = 0$
$x = 0$
Подставим $x = 0$ во второе исходное уравнение:
$0 + 4y + 12 = 0$
$4y = -12$
$y = -3$
Ответ: $(0, -3)$

л) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y - 12 = 0 \\ 2x + 4y = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $x$. Сначала разделим его на 2:
$x + 2y = 0 \implies x = -2y$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(-2y) - y - 12 = 0$
$-3y - 12 = 0$
$-3y = 12$
$y = -4$
Найдем $x$:
$x = -2(-4) = 8$
Ответ: $(8, -4)$

м) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 3y - 3 = 0 \\ x - y + 6 = 0 \end{cases} $$ Решим методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:
$x = y - 6$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(y - 6) + 3y - 3 = 0$
$2y - 12 + 3y - 3 = 0$
$5y - 15 = 0$
$5y = 15$
$y = 3$
Теперь найдем $x$:
$x = 3 - 6 = -3$
Ответ: $(-3, 3)$

Решите систему уравнений (698–699):

698. а)

$\begin{cases} 5x + y - 7 = 0, \\ x - 3y - 11 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + y - 1 = 0, \\ 3x + 2y + 5 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x + y - 7 = 0, \\ x - 2y + 4 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + y + 5 = 0, \\ x - 3y - 5 = 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x + 2y - 4 = 0, \\ 3x + y + 3 = 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 5x + y - 15 = 0, \\ x - 2y - 14 = 0. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 5x + y - 7 = 0 \\ x - 3y - 11 = 0 \end{cases}$
Это система линейных уравнений. Решим ее методом подстановки.
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 7 - 5x$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$x - 3(7 - 5x) - 11 = 0$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$x - 21 + 15x - 11 = 0$
$16x - 32 = 0$
$16x = 32$
$x = \frac{32}{16}$
$x = 2$
Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 2$ в выражение для $y$:
$y = 7 - 5(2)$
$y = 7 - 10$
$y = -3$
Проверим решение, подставив $x=2$ и $y=-3$ в оба исходных уравнения:
$5(2) + (-3) - 7 = 10 - 3 - 7 = 0$
$2 - 3(-3) - 11 = 2 + 9 - 11 = 0$
Оба равенства верны.
Ответ: $(2, -3)$.

б) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 2x + y - 1 = 0 \\ 3x + 2y + 5 = 0 \end{cases}$
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 1 - 2x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3x + 2(1 - 2x) + 5 = 0$
Решим полученное уравнение:
$3x + 2 - 4x + 5 = 0$
$-x + 7 = 0$
$x = 7$
Теперь найдем $y$:
$y = 1 - 2(7)$
$y = 1 - 14$
$y = -13$
Ответ: $(7, -13)$.

в) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 2x + y - 7 = 0 \\ x - 2y + 4 = 0 \end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$2(2x + y - 7) = 0 \implies 4x + 2y - 14 = 0$
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(4x + 2y - 14) + (x - 2y + 4) = 0$
$5x - 10 = 0$
$5x = 10$
$x = 2$
Подставим найденное значение $x = 2$ в первое исходное уравнение:
$2(2) + y - 7 = 0$
$4 + y - 7 = 0$
$y - 3 = 0$
$y = 3$
Ответ: $(2, 3)$.

г) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 3x + y + 5 = 0 \\ x - 3y - 5 = 0 \end{cases}$
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = -3x - 5$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x - 3(-3x - 5) - 5 = 0$
$x + 9x + 15 - 5 = 0$
$10x + 10 = 0$
$10x = -10$
$x = -1$
Теперь найдем $y$:
$y = -3(-1) - 5$
$y = 3 - 5$
$y = -2$
Ответ: $(-1, -2)$.

д) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} x + 2y - 4 = 0 \\ 3x + y + 3 = 0 \end{cases}$
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 4 - 2y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3(4 - 2y) + y + 3 = 0$
$12 - 6y + y + 3 = 0$
$15 - 5y = 0$
$5y = 15$
$y = 3$
Теперь найдем $x$:
$x = 4 - 2(3)$
$x = 4 - 6$
$x = -2$
Ответ: $(-2, 3)$.

е) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 5x + y - 15 = 0 \\ x - 2y - 14 = 0 \end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2:
$2(5x + y - 15) = 0 \implies 10x + 2y - 30 = 0$
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(10x + 2y - 30) + (x - 2y - 14) = 0$
$11x - 44 = 0$
$11x = 44$
$x = 4$
Подставим $x = 4$ в первое исходное уравнение:
$5(4) + y - 15 = 0$
$20 + y - 15 = 0$
$y + 5 = 0$
$y = -5$
Ответ: $(4, -5)$.

699. a) $\begin{cases} 2x - 3y + 7 = 0, \\ 3x + 4y - 1 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - 3y - 5 = 0, \\ 6x + 8y + 11 = 0. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y + 7 = 0 \\ 3x + 4y - 1 = 0 \end{cases} $

Сначала перепишем систему в стандартном виде, перенеся свободные члены в правую часть уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y = -7 \\ 3x + 4y = 1 \end{cases} $

Для решения системы применим метод алгебраического сложения. Чтобы исключить переменную $x$, умножим первое уравнение на 3, а второе уравнение на -2. Это позволит получить противоположные коэффициенты при $x$.

$ \begin{cases} 3 \cdot (2x - 3y) = 3 \cdot (-7) \\ -2 \cdot (3x + 4y) = -2 \cdot 1 \end{cases} $

В результате получаем новую систему:

$ \begin{cases} 6x - 9y = -21 \\ -6x - 8y = -2 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(6x - 9y) + (-6x - 8y) = -21 + (-2)$

$6x - 9y - 6x - 8y = -23$

$-17y = -23$

Отсюда находим значение $y$:

$y = \frac{-23}{-17} = \frac{23}{17}$

Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение $2x - 3y = -7$ для нахождения $x$:

$2x - 3 \cdot \frac{23}{17} = -7$

$2x - \frac{69}{17} = -7$

$2x = -7 + \frac{69}{17}$

Приведем -7 к знаменателю 17: $-7 = -\frac{7 \cdot 17}{17} = -\frac{119}{17}$.

$2x = -\frac{119}{17} + \frac{69}{17}$

$2x = \frac{-119 + 69}{17}$

$2x = -\frac{50}{17}$

$x = -\frac{50}{17 \cdot 2} = -\frac{25}{17}$

Ответ: $(-\frac{25}{17}; \frac{23}{17})$.

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 3y - 5 = 0 \\ 6x + 8y + 11 = 0 \end{cases} $

Перепишем систему в стандартном виде:

$ \begin{cases} 3x - 3y = 5 \\ 6x + 8y = -11 \end{cases} $

Воспользуемся методом сложения. Умножим обе части первого уравнения на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$ \begin{cases} -2 \cdot (3x - 3y) = -2 \cdot 5 \\ 6x + 8y = -11 \end{cases} $

Получим эквивалентную систему:

$ \begin{cases} -6x + 6y = -10 \\ 6x + 8y = -11 \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(-6x + 6y) + (6x + 8y) = -10 + (-11)$

$-6x + 6y + 6x + 8y = -21$

$14y = -21$

Найдем $y$:

$y = -\frac{21}{14} = -\frac{3}{2}$

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение $3x - 3y = 5$:

$3x - 3 \cdot (-\frac{3}{2}) = 5$

$3x + \frac{9}{2} = 5$

$3x = 5 - \frac{9}{2}$

Приведем 5 к знаменателю 2: $5 = \frac{10}{2}$.

$3x = \frac{10}{2} - \frac{9}{2}$

$3x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$

Ответ: $(\frac{1}{6}; -\frac{3}{2})$.