Страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

705. a) Какое уравнение называют линейным уравнением с двумя неизвестными?

б) Что называют членами линейного уравнения?

в) Является ли уравнение первой степени с двумя неизвестными линейным?

а) Линейным уравнением с двумя неизвестными (или переменными) называют уравнение вида $ax + by = c$. В этом уравнении $x$ и $y$ — это переменные (неизвестные), а $a$, $b$ и $c$ — это некоторые числа, которые называются коэффициентами. Важным условием является то, что хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не должен быть равен нулю. Если и $a=0$, и $b=0$, то уравнение теряет свои переменные и перестает быть уравнением с двумя неизвестными. Графиком линейного уравнения с двумя неизвестными на координатной плоскости является прямая линия.
Ответ: Линейным уравнением с двумя неизвестными называют уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — числа, причем хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю.

б) Членами линейного уравнения являются слагаемые, из которых оно состоит. Для уравнения в стандартном виде $ax + by = c$, его членами являются: слагаемое $ax$, слагаемое $by$ и свободный член $c$. Например, в уравнении $3x - 5y = 10$ членами являются $3x$, $-5y$ и $10$.
Ответ: Членами линейного уравнения $ax + by = c$ являются слагаемые $ax$, $by$ и $c$.

в) Да, является. Уравнение первой степени с двумя неизвестными — это уравнение, в котором наивысшая степень, в которой стоят переменные, равна единице. Общий вид такого уравнения — $ax + by + d = 0$ (или $ax + by = c$, где $c = -d$). В этом уравнении переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени (то есть $x^1$ и $y^1$), а $a$ и $b$ — коэффициенты, из которых хотя бы один не равен нулю. Это определение полностью совпадает с определением линейного уравнения с двумя неизвестными. Название "линейное" как раз и связано с тем, что переменные входят в уравнение в первой степени, а его график — это прямая линия (лат. linea — линия).
Ответ: Да, является. Уравнение первой степени с двумя неизвестными — это другое название для линейного уравнения с двумя неизвестными.

706. Приведите пример линейного уравнения с двумя неизвестными, не являющегося уравнением первой степени.

Общий вид линейного уравнения с двумя неизвестными $x$ и $y$ — это уравнение вида $ax + by = c$, где $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты).

Уравнением первой степени с двумя неизвестными называют такое линейное уравнение $ax + by = c$, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) отличен от нуля. Это условие можно записать как $a^2 + b^2 \neq 0$. Графиком такого уравнения на координатной плоскости является прямая линия.

Чтобы привести пример линейного уравнения с двумя неизвестными, которое не является уравнением первой степени, нужно нарушить условие для уравнения первой степени. То есть, нужно найти такое уравнение вида $ax + by = c$, в котором оба коэффициента при переменных равны нулю.

Возьмем $a = 0$ и $b = 0$.

Тогда уравнение примет вид:

$0 \cdot x + 0 \cdot y = c$

Это уравнение соответствует общему виду линейного уравнения с двумя неизвестными, но не является уравнением первой степени, так как оба коэффициента при $x$ и $y$ равны нулю.

В качестве $c$ можно выбрать любое число. Например, если взять $c = 5$, получим уравнение:

$0x + 0y = 5$

Это уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда равна нулю, а правая — пяти, и равенство $0 = 5$ является ложным.

Если взять $c = 0$, получим уравнение:

$0x + 0y = 0$

Решением этого уравнения является любая пара чисел $(x; y)$, так как равенство $0=0$ является истинным.

Оба приведенных выше варианта являются примерами линейного уравнения с двумя неизвестными, которое не является уравнением первой степени.

Ответ: $0x + 0y = 5$ (или любое другое уравнение вида $0x+0y=c$, где $a=0$, $b=0$).

707. а) Какие два уравнения называют равносильными?

б) Сформулируйте утверждения о равносильности линейных уравнений.

в) Какие две системы уравнений называют равносильными?

г) Сформулируйте утверждения о равносильности систем уравнений.

а) Какие два уравнения называют равносильными?

Два уравнения с одной или несколькими переменными называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Иными словами, каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. Также равносильными считаются уравнения, которые не имеют корней.

Например, уравнения $x + 3 = 7$ и $2x = 8$ равносильны, так как оба имеют единственный корень $x = 4$.

Ответ: Равносильными называют два уравнения, имеющие одинаковые множества решений.

б) Сформулируйте утверждения о равносильности линейных уравнений.

При решении уравнений используются преобразования, которые заменяют исходное уравнение более простым, но равносильным ему. Эти преобразования основаны на следующих утверждениях о равносильности:

Утверждение 1: Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное исходному. Например, уравнение $ax + b = c$ равносильно уравнению $ax = c - b$.

Утверждение 2: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное исходному. Например, уравнение $ax = b$ при $a \neq 0$ равносильно уравнению $x = \frac{b}{a}$.

Эти два правила являются основными при решении линейных уравнений и позволяют свести любое линейное уравнение к простейшему виду, сохранив при этом множество его корней.

Ответ: Основные утверждения о равносильности линейных уравнений заключаются в том, что перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака и умножение/деление обеих частей на одно и то же ненулевое число приводят к равносильному уравнению.

в) Какие две системы уравнений называют равносильными?

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Решением системы уравнений с $n$ переменными называется упорядоченный набор из $n$ чисел, который при подстановке в каждое уравнение системы обращает его в верное числовое равенство.

Таким образом, если любое решение первой системы является решением второй системы, и наоборот, то такие системы равносильны. Системы, не имеющие решений, также считаются равносильными.

Ответ: Равносильными называют две системы уравнений, имеющие одинаковые множества решений.

г) Сформулируйте утверждения о равносильности систем уравнений.

Равносильные преобразования систем уравнений позволяют заменять одну систему другой, более простой, но имеющей то же самое множество решений. Основные утверждения (или свойства) равносильности систем:

Утверждение 1: Если в системе поменять местами любые два уравнения, то полученная система будет равносильна исходной.

Утверждение 2: Если одно из уравнений системы заменить на равносильное ему уравнение, то полученная система будет равносильна исходной. Например, можно умножить обе части одного из уравнений на число, не равное нулю.

Утверждение 3 (Метод подстановки): Если из одного уравнения системы выразить одну переменную через другие и подставить полученное выражение в остальные уравнения системы, то новая система, состоящая из этих новых уравнений и уравнения, из которого выражали переменную, будет равносильна исходной. Например, система $\begin{cases} y = f(x) \\ g(x, y) = 0 \end{cases}$ равносильна системе $\begin{cases} y = f(x) \\ g(x, f(x)) = 0 \end{cases}$.

Утверждение 4 (Метод сложения): Если к обеим частям одного уравнения системы прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на любое число, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная система будет равносильна исходной. Например, система из двух уравнений $E_1$ и $E_2$ равносильна системе, в которой уравнение $E_2$ заменено на $E_2 + k \cdot E_1$ для любого числа $k$.

Ответ: Утверждения о равносильности систем уравнений описывают преобразования (замена уравнения равносильным, перестановка уравнений, подстановка одной переменной из одного уравнения в другое, сложение уравнений), которые не изменяют множество решений системы.