Страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

725. a) $\begin{cases} x + 5 = 5 + 3x, \\ x - 3 = 9x + 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y + 3 = 2y - 4, \\ 2x + 3 = x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3y - 4 = 2 - 3y, \\ y = 1\frac{1}{3} - 3y; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y = x + y, \\ x - y + 2 = 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x + 3y = 2x + 3y + 2, \\ x - 7y + 1 = 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 3x + 5y = 5(x + 3y) - 2(x + 5y), \\ y - 3 + x = 2x + (x + y - 3); \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 3x + 4y + 1 = (x + y - 2) + (2x + 3y + 3), \\ x + y + 2 = y + (2 + x). \end{cases}$

а) Рассматриваем систему уравнений:

$$\begin{cases}x + 5 = 5 + 3x \\x - 3 = 9x + 1\end{cases}$$

Данная система состоит из двух уравнений с одной переменной $x$. Для существования решения необходимо, чтобы оба уравнения давали одинаковое значение $x$. Решим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения:
$x + 5 = 5 + 3x$
$3x - x = 5 - 5$
$2x = 0$
$x = 0$

Решение второго уравнения:
$x - 3 = 9x + 1$
$9x - x = -3 - 1$
$8x = -4$
$x = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$

Поскольку значения $x$, полученные из двух уравнений, различны ($0 \neq -1/2$), система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б) Рассматриваем систему уравнений:

$$\begin{cases}y + 3 = 2y - 4 \\2x + 3 = x\end{cases}$$

В этой системе первое уравнение содержит только переменную $y$, а второе — только переменную $x$. Мы можем решить их независимо друг от друга.

Решим первое уравнение относительно $y$ :
$y + 3 = 2y - 4$
$2y - y = 3 + 4$
$y = 7$

Решим второе уравнение относительно $x$ :
$2x + 3 = x$
$2x - x = -3$
$x = -3$

Таким образом, решение системы — это пара чисел $x = -3$ и $y = 7$.

Ответ: $x = -3, y = 7$.

в) Рассматриваем систему уравнений:

$$\begin{cases}3y - 4 = 2 - 3y \\y = 1\frac{1}{3} - 3y\end{cases}$$

Система состоит из двух уравнений с одной переменной $y$. Решим каждое уравнение и сравним результаты.

Решение первого уравнения:
$3y - 4 = 2 - 3y$
$3y + 3y = 2 + 4$
$6y = 6$
$y = 1$

Решение второго уравнения. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
$y = \frac{4}{3} - 3y$
$y + 3y = \frac{4}{3}$
$4y = \frac{4}{3}$
$y = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

Полученные значения $y$ не совпадают ($1 \neq \frac{1}{3}$), следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г) Рассматриваем систему уравнений:

$$\begin{cases}x + y = x + y \\x - y + 2 = 0\end{cases}$$

Упростим первое уравнение:
$x + y = x + y$
$0 = 0$
Это тождество, оно верно для любых значений $x$ и $y$. Следовательно, решение системы полностью определяется вторым уравнением.

Рассмотрим второе уравнение:
$x - y + 2 = 0$
Выразим $y$ через $x$ :
$y = x + 2$

Система имеет бесконечное множество решений. Решением является любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая условию $y = x + 2$.

Ответ: любая пара чисел $(x, y)$, для которой выполняется равенство $y = x + 2$.

д) Рассматриваем систему уравнений:

$$\begin{cases}2x + 3y = 2x + 3y + 2 \\x - 7y + 1 = 0\end{cases}$$

Упростим первое уравнение:
$2x + 3y = 2x + 3y + 2$
Вычтем из обеих частей $2x$ и $3y$ :
$0 = 2$
Получено неверное равенство (противоречие). Это означает, что первое уравнение не имеет решений ни при каких значениях $x$ и $y$. Следовательно, вся система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

е) Рассматриваем систему уравнений:

$$\begin{cases}3x + 5y = 5(x + 3y) - 2(x + 5y) \\y - 3 + x = 2x + (x + y - 3)\end{cases}$$

Упростим каждое уравнение системы.
Первое уравнение:
$3x + 5y = 5x + 15y - 2x - 10y$
$3x + 5y = (5x - 2x) + (15y - 10y)$
$3x + 5y = 3x + 5y$
$0 = 0$
Первое уравнение является тождеством, верным для любых $x$ и $y$.

Второе уравнение:
$y - 3 + x = 2x + x + y - 3$
$y - 3 + x = 3x + y - 3$
Вычтем из обеих частей $y$ и прибавим 3:
$x = 3x$
$2x = 0$
$x = 0$

Система эквивалентна одному уравнению $x = 0$. Это означает, что $x$ должен быть равен нулю, а $y$ может быть любым действительным числом.

Ответ: любая пара чисел вида $(0, y)$, где $y$ — любое число.

ж) Рассматриваем систему уравнений:

$$\begin{cases}3x + 4y + 1 = (x + y - 2) + (2x + 3y + 3) \\x + y + 2 = y + (2 + x)\end{cases}$$

Упростим каждое уравнение системы.

Первое уравнение:
$3x + 4y + 1 = x + y - 2 + 2x + 3y + 3$
$3x + 4y + 1 = (x + 2x) + (y + 3y) + (-2 + 3)$
$3x + 4y + 1 = 3x + 4y + 1$
$0 = 0$
Это тождество, верное для любых $x$ и $y$.

Второе уравнение:
$x + y + 2 = y + 2 + x$
$x + y + 2 = x + y + 2$
$0 = 0$
Это также тождество, верное для любых $x$ и $y$.

Поскольку оба уравнения являются тождествами, любая пара чисел $(x, y)$ является решением данной системы.

Ответ: любая пара чисел $(x, y)$.