Страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

732. а) Какое уравнение называют уравнением первой степени с тремя неизвестными?

б) Что называют решением уравнения первой степени с тремя неизвестными?

в) Что называют решением системы трёх уравнений с тремя неизвестными?

г) Что значит решить систему уравнений?

д) В чём заключается способ подстановки для решения системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными?

а) Какое уравнение называют уравнением первой степени с тремя неизвестными?

Уравнением первой степени с тремя неизвестными (или линейным уравнением с тремя переменными) называют уравнение вида $ax + by + cz = d$.

В этом уравнении:

• $x, y, z$ – это переменные (неизвестные).
• $a, b, c$ – это коэффициенты при переменных (некоторые числа).
• $d$ – это свободный член (некоторое число).

Основное условие заключается в том, что хотя бы один из коэффициентов $a, b$ или $c$ не должен быть равен нулю. Название «уравнение первой степени» означает, что все переменные входят в уравнение в первой степени (т.е. нет $x^2$, $y^3$ и т.д.).

Ответ: Уравнением первой степени с тремя неизвестными называют уравнение вида $ax + by + cz = d$, где $x, y, z$ – переменные, а $a, b, c, d$ – некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел $a, b, c$ не равно нулю.

б) Что называют решением уравнения первой степени с тремя неизвестными?

Решением уравнения первой степени с тремя неизвестными называют упорядоченную тройку чисел $(x_0; y_0; z_0)$, при подстановке которой вместо переменных $x, y, z$ уравнение обращается в верное числовое равенство.

Например, для уравнения $2x + y - z = 5$ тройка чисел $(3; 1; 2)$ является решением, так как $2 \cdot 3 + 1 - 2 = 6 + 1 - 2 = 5$, что соответствует правой части уравнения.

Ответ: Решением уравнения первой степени с тремя неизвестными является всякая тройка чисел $(x; y; z)$, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

в) Что называют решением системы трёх уравнений с тремя неизвестными?

Решением системы трёх уравнений с тремя неизвестными называют упорядоченную тройку чисел $(x_0; y_0; z_0)$, которая является решением каждого из трёх уравнений системы одновременно.

Иными словами, при подстановке этой тройки чисел во все три уравнения системы, каждое из них должно превратиться в верное числовое равенство.

Ответ: Решением системы трёх уравнений с тремя неизвестными называют тройку значений переменных $(x; y; z)$, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

г) Что значит решить систему уравнений?

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений не существует.

Возможны три случая:

1. Система имеет единственное решение (одну тройку чисел).
2. Система имеет бесконечное множество решений.
3. Система не имеет решений (является несовместной).

Таким образом, процесс решения включает в себя нахождение всех возможных упорядоченных наборов чисел, удовлетворяющих всем уравнениям, или установление факта их отсутствия.

Ответ: Решить систему уравнений — значит найти множество всех её решений или доказать, что она не имеет решений.

д) В чём заключается способ подстановки для решения системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными?

Способ подстановки для решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными заключается в последовательном исключении переменных. Алгоритм метода следующий:

1. Выразить одну переменную. Из любого уравнения системы выражают одну переменную через две другие. Например, из первого уравнения выражают $x$ через $y$ и $z$. Проще всего это сделать, если коэффициент при какой-либо переменной равен $1$ или $-1$.
2. Подставить выражение. Полученное выражение подставляют в два других уравнения системы. В результате этой подстановки получают новую систему, состоящую уже из двух уравнений с двумя неизвестными (например, $y$ и $z$).
3. Решить новую систему. Решают полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными любым удобным способом (например, тем же способом подстановки или способом сложения). В результате находят значения этих двух переменных.
4. Найти значение третьей переменной. Найденные значения двух переменных подставляют в выражение, полученное на первом шаге, и вычисляют значение оставшейся, третьей переменной.
5. Записать ответ. Записывают ответ в виде упорядоченной тройки чисел $(x; y; z)$. Рекомендуется выполнить проверку, подставив найденные значения во все три исходных уравнения.

Ответ: Способ подстановки заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другие, подставить это выражение в остальные уравнения, получив систему с меньшим числом уравнений и переменных, решить её, а затем найти оставшуюся переменную.

733. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x = 1 \\ 3x + 2y - 3z = 2 \\ 5x - y - 5z = -1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3y = 12 \\ x + y + z = 7 \\ x - 2y + 2z = -3 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x = 2y \\ 3x - 2y - z = 1 \\ 5x + 4y - 2z = 8 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - 2y + z = 6 \\ x - 5y + 3z = -4 \end{cases}$

д) $\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ 3x - 2y + z = 2 \end{cases}$

е) $\begin{cases} 2x - y + 3z = 7 \\ x + 2y - z = 1 \\ 3x - 5y - 4z = 2 \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 3x + 2y - 5z = 17 \\ x + y - z = 6 \\ x - y - z = 0 \end{cases}$

з) $\begin{cases} x + y + z = 9 \\ x - y + z = 3 \\ x + y - z = 3 \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x = 1 \\ 3x + 2y - 3z = 2 \\ 5x - y - 5z = -1 \end{cases} $.
Первое уравнение уже дает нам значение одной переменной: $x=1$.
Подставим $x=1$ во второе и третье уравнения системы:
Для второго уравнения: $3(1) + 2y - 3z = 2 \implies 3 + 2y - 3z = 2 \implies 2y - 3z = -1$.
Для третьего уравнения: $5(1) - y - 5z = -1 \implies 5 - y - 5z = -1 \implies -y - 5z = -6$, что эквивалентно $y + 5z = 6$.
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $y$ и $z$: $ \begin{cases} 2y - 3z = -1 \\ y + 5z = 6 \end{cases} $.
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 6 - 5z$.
Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение: $2(6 - 5z) - 3z = -1$.
Решаем полученное уравнение относительно $z$:
$12 - 10z - 3z = -1$
$12 - 13z = -1$
$-13z = -13$
$z = 1$.
Теперь найдем значение $y$, подставив $z=1$ в выражение $y = 6 - 5z$:
$y = 6 - 5(1) = 1$.
Таким образом, мы нашли все переменные: $x=1, y=1, z=1$.

Ответ: $(1, 1, 1)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3y = 12 \\ x + y + z = 7 \\ x - 2y + 2z = -3 \end{cases} $.
Из первого уравнения находим $y$:
$3y = 12 \implies y = 4$.
Подставляем $y=4$ во второе и третье уравнения:
$x + 4 + z = 7 \implies x + z = 3$.
$x - 2(4) + 2z = -3 \implies x - 8 + 2z = -3 \implies x + 2z = 5$.
Получаем систему из двух уравнений с переменными $x$ и $z$: $ \begin{cases} x + z = 3 \\ x + 2z = 5 \end{cases} $.
Вычтем первое уравнение из второго:
$(x + 2z) - (x + z) = 5 - 3$
$z = 2$.
Подставим $z=2$ в уравнение $x + z = 3$:
$x + 2 = 3 \implies x = 1$.
Решение системы: $x=1, y=4, z=2$.

Ответ: $(1, 4, 2)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x = 2y \\ 3x - 2y - z = 1 \\ 5x + 4y - 2z = 8 \end{cases} $.
Используем первое уравнение $x=2y$ для подстановки в другие уравнения:
$3(2y) - 2y - z = 1 \implies 6y - 2y - z = 1 \implies 4y - z = 1$.
$5(2y) + 4y - 2z = 8 \implies 10y + 4y - 2z = 8 \implies 14y - 2z = 8$.
Разделим второе новое уравнение на 2: $7y - z = 4$.
Получаем систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} 4y - z = 1 \\ 7y - z = 4 \end{cases} $.
Вычтем первое уравнение из второго:
$(7y - z) - (4y - z) = 4 - 1$
$3y = 3 \implies y = 1$.
Подставим $y=1$ в уравнение $4y - z = 1$:
$4(1) - z = 1 \implies 4 - z = 1 \implies z = 3$.
Найдем $x$ из уравнения $x=2y$:
$x = 2(1) = 2$.
Решение системы: $x=2, y=1, z=3$.

Ответ: $(2, 1, 3)$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - 2y + z = 6 \\ x - 5y + 3z = -4 \end{cases} $.
Из первого уравнения выразим $x$: $x = 5 - y$.
Подставим это выражение во второе и третье уравнения:
$3(5-y) - 2y + z = 6 \implies 15 - 3y - 2y + z = 6 \implies -5y + z = -9$.
$(5-y) - 5y + 3z = -4 \implies 5 - 6y + 3z = -4 \implies -6y + 3z = -9$.
Разделим второе новое уравнение на 3: $-2y + z = -3$.
Получаем систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} -5y + z = -9 \\ -2y + z = -3 \end{cases} $.
Вычтем второе уравнение из первого:
$(-5y + z) - (-2y + z) = -9 - (-3)$
$-3y = -6 \implies y = 2$.
Подставим $y=2$ в уравнение $-2y + z = -3$:
$-2(2) + z = -3 \implies -4 + z = -3 \implies z = 1$.
Найдем $x$ из уравнения $x = 5 - y$:
$x = 5 - 2 = 3$.
Решение системы: $x=3, y=2, z=1$.

Ответ: $(3, 2, 1)$.

д) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y + z = 3 \quad (1) \\ 2x - y + z = 2 \quad (2) \\ 3x - 2y + z = 2 \quad (3) \end{cases} $.
Будем решать методом алгебраического сложения (вычитания).
Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):
$(x + y + z) - (2x - y + z) = 3 - 2$
$-x + 2y = 1 \quad (4)$.
Вычтем уравнение (3) из уравнения (2):
$(2x - y + z) - (3x - 2y + z) = 2 - 2$
$-x + y = 0 \implies y = x \quad (5)$.
Подставим $y=x$ в уравнение (4):
$-x + 2x = 1 \implies x = 1$.
Так как $y=x$, то $y=1$.
Подставим $x=1$ и $y=1$ в исходное уравнение (1):
$1 + 1 + z = 3 \implies 2 + z = 3 \implies z = 1$.
Решение системы: $x=1, y=1, z=1$.

Ответ: $(1, 1, 1)$.

е) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - y + 3z = 7 \quad (1) \\ x + 2y - z = 1 \quad (2) \\ 3x - 5y - 4z = 2 \quad (3) \end{cases} $.
Будем решать методом подстановки. Из уравнения (2) выразим $z$:
$z = x + 2y - 1$.
Подставим это выражение в уравнения (1) и (3):
В уравнение (1):
$2x - y + 3(x + 2y - 1) = 7$
$2x - y + 3x + 6y - 3 = 7$
$5x + 5y = 10 \implies x + y = 2 \quad (4)$.
В уравнение (3):
$3x - 5y - 4(x + 2y - 1) = 2$
$3x - 5y - 4x - 8y + 4 = 2$
$-x - 13y = -2 \implies x + 13y = 2 \quad (5)$.
Теперь у нас есть система из двух уравнений (4) и (5):
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x + 13y = 2 \end{cases} $.
Вычтем уравнение (4) из уравнения (5):
$(x + 13y) - (x + y) = 2 - 2$
$12y = 0 \implies y = 0$.
Подставим $y=0$ в уравнение (4): $x + 0 = 2 \implies x = 2$.
Найдем $z$, подставив $x=2$ и $y=0$ в выражение для $z$:
$z = 2 + 2(0) - 1 = 1$.
Решение системы: $x=2, y=0, z=1$.

Ответ: $(2, 0, 1)$.

ж) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + 2y - 5z = 17 \quad (1) \\ x + y - z = 6 \quad (2) \\ x - y - z = 0 \quad (3) \end{cases} $.
Будем решать методом сложения.
Сложим уравнения (2) и (3):
$(x + y - z) + (x - y - z) = 6 + 0$
$2x - 2z = 6 \implies x - z = 3 \implies z = x - 3$.
Вычтем уравнение (3) из уравнения (2):
$(x + y - z) - (x - y - z) = 6 - 0$
$2y = 6 \implies y = 3$.
Теперь подставим $y=3$ и $z = x-3$ в уравнение (1):
$3x + 2(3) - 5(x - 3) = 17$
$3x + 6 - 5x + 15 = 17$
$-2x + 21 = 17$
$-2x = 17 - 21 \implies -2x = -4 \implies x = 2$.
Найдем $z$ из выражения $z = x - 3$:
$z = 2 - 3 = -1$.
Решение системы: $x=2, y=3, z=-1$.

Ответ: $(2, 3, -1)$.

з) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y + z = 9 \quad (1) \\ x - y + z = 3 \quad (2) \\ x + y - z = 3 \quad (3) \end{cases} $.
Будем решать методом сложения.
Сложим уравнения (2) и (3):
$(x - y + z) + (x + y - z) = 3 + 3 \implies 2x = 6 \implies x = 3$.
Сложим уравнения (1) и (2):
$(x + y + z) + (x - y + z) = 9 + 3 \implies 2x + 2z = 12 \implies x + z = 6$.
Подставим $x=3$ в уравнение $x+z=6$:
$3 + z = 6 \implies z = 3$.
Подставим $x=3$ и $z=3$ в исходное уравнение (1):
$3 + y + 3 = 9 \implies y + 6 = 9 \implies y = 3$.
Решение системы: $x=3, y=3, z=3$.

Ответ: $(3, 3, 3)$.