Страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

734. a) Сумма двух чисел равна 10, а их разность равна 4. Найдите числа.

б) Сумма двух чисел равна 21, а их разность равна 9. Найдите числа.

а)

Пусть первое число будет $x$, а второе — $y$. По условию задачи мы можем составить систему из двух линейных уравнений:

1. Сумма чисел равна 10: $x + y = 10$

2. Разность чисел равна 4: $x - y = 4$

Это классическая система уравнений, которую легко решить методом сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 10 + 4$

$2x = 14$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{14}{2} = 7$

Теперь, зная значение $x$, подставим его в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$7 + y = 10$

$y = 10 - 7 = 3$

Таким образом, искомые числа — это 7 и 3. Проверим: их сумма $7 + 3 = 10$, а их разность $7 - 3 = 4$. Всё верно.

Ответ: 7 и 3.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. Составим систему уравнений:

1. Сумма чисел равна 21: $x + y = 21$

2. Разность чисел равна 9: $x - y = 9$

Снова используем метод сложения уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 21 + 9$

$2x = 30$

Находим $x$:

$x = \frac{30}{2} = 15$

Подставляем найденное значение $x$ в первое уравнение для нахождения $y$:

$15 + y = 21$

$y = 21 - 15 = 6$

Искомые числа — это 15 и 6. Проверим: их сумма $15 + 6 = 21$, а их разность $15 - 6 = 9$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 15 и 6.

735. a) Одно число больше другого на 6. Сумма этих чисел равна 40. Найдите числа.

б) Одно число меньше другого на 15. Сумма этих чисел равна 23. Найдите числа.

а)

Пусть меньшее число равно $x$. Согласно условию, другое число на 6 больше, следовательно, оно равно $x + 6$.

Сумма этих двух чисел равна 40. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 6) = 40$
$2x + 6 = 40$
$2x = 40 - 6$
$2x = 34$
$x = 34 / 2$
$x = 17$

Меньшее число равно 17.

Теперь найдем второе (большее) число:
$17 + 6 = 23$

Проверка: $17 + 23 = 40$.

Ответ: 17 и 23.

б)

Пусть большее число равно $y$. Согласно условию, другое число на 15 меньше, следовательно, оно равно $y - 15$.

Сумма этих двух чисел равна 23. Составим и решим уравнение:
$y + (y - 15) = 23$
$2y - 15 = 23$
$2y = 23 + 15$
$2y = 38$
$y = 38 / 2$
$y = 19$

Большее число равно 19.

Теперь найдем второе (меньшее) число:
$19 - 15 = 4$

Проверка: $19 + 4 = 23$.

Ответ: 4 и 19.

736. а) Одно число в 2 раза больше другого. Если меньшее из этих чисел увеличить в 4 раза, а большее увеличить в 2 раза, то их сумма будет равна 44. Найдите числа.

б) Одно число в 3 раза меньше другого. Если одно из чисел увеличить в 2 раза, то сумма станет равной 42. Найдите числа. Сколько решений имеет задача? Как следует изменить формулировку задачи, чтобы решение было единственным?

а)

Пусть меньшее число равно $x$. Тогда большее число, которое в 2 раза больше, равно $2x$.

Если меньшее число увеличить в 4 раза, оно станет $4 \cdot x = 4x$.

Если большее число увеличить в 2 раза, оно станет $2 \cdot (2x) = 4x$.

Сумма этих новых чисел равна 44. Составим и решим уравнение:

$4x + 4x = 44$

$8x = 44$

$x = 44 / 8$

$x = 5.5$

Итак, меньшее число равно 5.5.

Найдем большее число:

$2x = 2 \cdot 5.5 = 11$

Проверим: меньшее число (5.5) увеличиваем в 4 раза: $5.5 \cdot 4 = 22$. Большее число (11) увеличиваем в 2 раза: $11 \cdot 2 = 22$. Их сумма: $22 + 22 = 44$. Условие выполняется.

Ответ: искомые числа – 5.5 и 11.

б)

Пусть меньшее число равно $x$. Тогда большее число, которое в 3 раза больше, равно $3x$.

В условии сказано: "Если одно из чисел увеличить в 2 раза, то сумма станет равной 42". Не уточнено, какое именно число нужно увеличить, поэтому необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Увеличиваем в 2 раза меньшее число.

Меньшее число становится $2x$. Большее число остается без изменений – $3x$. Их сумма равна 42. Составим уравнение:

$2x + 3x = 42$

$5x = 42$

$x = 42 / 5$

$x = 8.4$

Тогда меньшее число равно 8.4. Большее число равно $3 \cdot 8.4 = 25.2$.

Первая пара чисел: 8.4 и 25.2.

Случай 2: Увеличиваем в 2 раза большее число.

Меньшее число остается без изменений – $x$. Большее число становится $2 \cdot (3x) = 6x$. Их сумма равна 42. Составим уравнение:

$x + 6x = 42$

$7x = 42$

$x = 42 / 7$

$x = 6$

Тогда меньшее число равно 6. Большее число равно $3 \cdot 6 = 18$.

Вторая пара чисел: 6 и 18.

Таким образом, задача имеет два решения, так как условие допускает две трактовки.

Чтобы решение было единственным, нужно уточнить, какое именно число увеличивается. Например, можно изменить формулировку так:

• "Если меньшее из чисел увеличить в 2 раза, то сумма станет равной 42" (тогда ответ будет 8.4 и 25.2).
• или
• "Если большее из чисел увеличить в 2 раза, то сумма станет равной 42" (тогда ответ будет 6 и 18).

Ответ: задача имеет два решения: (8.4 и 25.2) или (6 и 18). Чтобы решение было единственным, нужно в условии указать, какое именно число (меньшее или большее) увеличивается в 2 раза.

737. a) Одно из чисел на 7 больше другого. Если меньшее число увеличить в 2 раза, а большее — на 6, то их сумма станет равной 31. Найдите числа.

б) Одно из чисел на 10 меньше другого. Если большее число уменьшить в 3 раза, то их сумма станет равной 70. Найдите числа.

а)

Пусть меньшее число равно $x$. Согласно условию, одно из чисел на 7 больше другого, значит, большее число равно $x + 7$.

Далее в условии сказано, что если меньшее число увеличить в 2 раза, оно станет равным $2x$. Если большее число увеличить на 6, оно станет равным $(x + 7) + 6 = x + 13$.

Сумма этих новых чисел равна 31. Составим и решим уравнение:

$2x + (x + 13) = 31$

$2x + x + 13 = 31$

$3x + 13 = 31$

Перенесем 13 в правую часть уравнения, изменив знак:

$3x = 31 - 13$

$3x = 18$

Найдем $x$:

$x = 18 / 3$

$x = 6$

Таким образом, меньшее число равно 6. Найдем большее число:

$x + 7 = 6 + 7 = 13$

Проверим: увеличим меньшее число (6) в 2 раза, получим 12. Увеличим большее число (13) на 6, получим 19. Их сумма: $12 + 19 = 31$. Условие выполняется.

Ответ: искомые числа — 6 и 13.

б)

Пусть меньшее число равно $y$. Согласно условию, одно из чисел на 10 меньше другого, значит, большее число равно $y + 10$.

По условию, если большее число уменьшить в 3 раза, оно станет равным $\frac{y + 10}{3}$. Сумма измененного большего числа и исходного меньшего числа станет равна 70. Составим и решим уравнение:

$y + \frac{y + 10}{3} = 70$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot y + 3 \cdot \frac{y + 10}{3} = 3 \cdot 70$

$3y + (y + 10) = 210$

$3y + y + 10 = 210$

$4y + 10 = 210$

Перенесем 10 в правую часть уравнения:

$4y = 210 - 10$

$4y = 200$

Найдем $y$:

$y = 200 / 4$

$y = 50$

Итак, меньшее число равно 50. Найдем большее число:

$y + 10 = 50 + 10 = 60$

Проверим: уменьшим большее число (60) в 3 раза, получим 20. Сумма этого числа и меньшего (50) равна $20 + 50 = 70$. Условие выполняется.

Ответ: искомые числа — 50 и 60.

738. a) Даны два числа. Если первое число умножить на 2, то полученное число будет на 1 больше второго; если второе число умножить на 2, то полученное число будет на 7 больше первого. Найдите числа.

б) Даны два числа. Если первое число умножить на 4, то полученное число будет на 6 больше второго; если второе уменьшить на 3, то полученное число будет меньше первого на 1,5. Найдите числа.

а)

Пусть первое число — это $x$, а второе число — это $y$.

Согласно первому условию: "Если первое число умножить на 2, то полученное число будет на 1 больше второго". Математически это можно записать как уравнение: $2x = y + 1$

Согласно второму условию: "если второе число умножить на 2, то полученное число будет на 7 больше первого". Математически это записывается так: $2y = x + 7$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $ \begin{cases} 2x = y + 1 \\ 2y = x + 7 \end{cases} $

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения: $y = 2x - 1$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы: $2(2x - 1) = x + 7$

Решим полученное уравнение относительно $x$:
$4x - 2 = x + 7$
$4x - x = 7 + 2$
$3x = 9$
$x = \frac{9}{3}$
$x = 3$

Зная значение $x$, найдем $y$, подставив $x = 3$ в выражение для $y$: $y = 2x - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$

Таким образом, первое искомое число равно 3, а второе — 5.

Проверка:
1) $2 \cdot 3 = 6$. Число 6 на 1 больше числа 5. Условие выполняется.
2) $2 \cdot 5 = 10$. Число 10 на 7 больше числа 3. Условие выполняется.

Ответ: 3 и 5.

б)

Пусть первое число — это $x$, а второе число — это $y$.

Из первого условия: "Если первое число умножить на 4, то полученное число будет на 6 больше второго", составляем уравнение: $4x = y + 6$

Из второго условия: "если второе число уменьшить на 3, то полученное число будет меньше первого на 1,5", составляем уравнение: $y - 3 = x - 1,5$

Получаем систему уравнений: $ \begin{cases} 4x = y + 6 \\ y - 3 = x - 1,5 \end{cases} $

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 4x - 6$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение: $(4x - 6) - 3 = x - 1,5$

Решим полученное уравнение относительно $x$:
$4x - 9 = x - 1,5$
$4x - x = 9 - 1,5$
$3x = 7,5$
$x = \frac{7,5}{3}$
$x = 2,5$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=2,5$ в выражение для $y$: $y = 4x - 6 = 4 \cdot 2,5 - 6 = 10 - 6 = 4$

Итак, первое число равно 2,5, а второе — 4.

Проверка:
1) $4 \cdot 2,5 = 10$. Число 10 на 6 больше числа 4. Условие выполняется.
2) $4 - 3 = 1$. Число 1 на 1,5 меньше числа 2,5 ($2,5 - 1,5 = 1$). Условие выполняется.

Ответ: 2,5 и 4.

739. a) Между посёлками проложены две дороги: просёлочная и шоссейная. Просёлочная дорога на 5 км короче шоссейной, а их общая длина равна 61 км. Какова длина просёлочной дороги?

б) От города до села ведут две дороги: грунтовая и асфальтированная. Грунтовая дорога на 18 км длиннее асфальтированной. Общая длина дорог равна 66 км. Какова длина грунтовой дороги?

а) Пусть длина просёлочной дороги равна $x$ км. Согласно условию, просёлочная дорога на 5 км короче шоссейной. Это означает, что шоссейная дорога на 5 км длиннее, и её длина составляет $(x + 5)$ км. Общая длина обеих дорог равна 61 км. На основе этих данных мы можем составить уравнение:

$x + (x + 5) = 61$

Теперь решим это уравнение:

$2x + 5 = 61$

$2x = 61 - 5$

$2x = 56$

$x = 56 / 2$

$x = 28$

Таким образом, длина просёлочной дороги составляет 28 км. Проверим: длина шоссейной дороги $28 + 5 = 33$ км. Общая длина $28 + 33 = 61$ км, что соответствует условию.

Ответ: 28 км.

б) Пусть длина грунтовой дороги равна $x$ км. По условию, грунтовая дорога на 18 км длиннее асфальтированной. Следовательно, асфальтированная дорога на 18 км короче, и её длина составляет $(x - 18)$ км. Общая длина обеих дорог равна 66 км. Составим уравнение:

$x + (x - 18) = 66$

Решим полученное уравнение:

$2x - 18 = 66$

$2x = 66 + 18$

$2x = 84$

$x = 84 / 2$

$x = 42$

Следовательно, длина грунтовой дороги равна 42 км. Проверим: длина асфальтированной дороги $42 - 18 = 24$ км. Общая длина $42 + 24 = 66$ км, что соответствует условию.

Ответ: 42 км.