Страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

726. Определите число решений системы:

а) $\begin{cases} 2x + 3y + 15 = 0, \\ 4x + 6y + 30 = 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - 5y + 2 = 0, \\ 12x + 15y + 8 = 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 11x - 13y + 14 = 0, \\ 22x - 26y + 7 = 0 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y + 1 = 0, \\ x + 2y + 2 = 0 \end{cases}$

д) $\begin{cases} x + y + 3 = 0, \\ 2x + 2y + 4 = 0 \end{cases}$

е) $\begin{cases} 2x - 3y + 13 = 0, \\ 6x - 9y + 39 = 0 \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 24x - 9y + 12 = 0, \\ 8x - 3y + 4 = 0 \end{cases}$

з) $\begin{cases} 14x + 7y + 7 = 0, \\ 2x - y + 1 = 0 \end{cases}$

и) $\begin{cases} 34x - 22y + 25 = 0, \\ 17x - 11y + 50 = 0 \end{cases}$

Для определения числа решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными вида

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases} $$

необходимо сравнить отношения их коэффициентов. Существует три возможных случая:

• Если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают).
• Если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, система не имеет решений (прямые параллельны и не совпадают).
• Если $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, система имеет одно единственное решение (прямые пересекаются).

а) Дана система:

$$ \begin{cases} 2x + 3y + 15 = 0 \\ 4x + 6y + 30 = 0 \end{cases} $$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=2, b_1=3, c_1=15$ и $a_2=4, b_2=6, c_2=30$.

$$ \frac{2}{4} = \frac{1}{2}; \quad \frac{3}{6} = \frac{1}{2}; \quad \frac{15}{30} = \frac{1}{2} $$

Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, уравнения описывают одну и ту же прямую. Система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

б) Дана система:

$$ \begin{cases} 3x - 5y + 2 = 0 \\ 12x + 15y + 8 = 0 \end{cases} $$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=3, b_1=-5$ и $a_2=12, b_2=15$.

$$ \frac{3}{12} = \frac{1}{4}; \quad \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} $$

Так как $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, прямые пересекаются. Система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

в) Дана система:

$$ \begin{cases} 11x - 13y + 14 = 0 \\ 22x - 26y + 7 = 0 \end{cases} $$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=11, b_1=-13, c_1=14$ и $a_2=22, b_2=-26, c_2=7$.

$$ \frac{11}{22} = \frac{1}{2}; \quad \frac{-13}{-26} = \frac{1}{2}; \quad \frac{14}{7} = 2 $$

Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, прямые параллельны. Система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г) Дана система:

$$ \begin{cases} x + y + 1 = 0 \\ x + 2y + 2 = 0 \end{cases} $$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=1, b_1=1$ и $a_2=1, b_2=2$.

$$ \frac{1}{1} = 1; \quad \frac{1}{2} $$

Так как $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, прямые пересекаются. Система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

д) Дана система:

$$ \begin{cases} x + y + 3 = 0 \\ 2x + 2y + 4 = 0 \end{cases} $$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=1, b_1=1, c_1=3$ и $a_2=2, b_2=2, c_2=4$.

$$ \frac{1}{2}; \quad \frac{1}{2}; \quad \frac{3}{4} $$

Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, прямые параллельны. Система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

е) Дана система:

$$ \begin{cases} 2x - 3y + 13 = 0 \\ 6x - 9y + 39 = 0 \end{cases} $$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=2, b_1=-3, c_1=13$ и $a_2=6, b_2=-9, c_2=39$.

$$ \frac{2}{6} = \frac{1}{3}; \quad \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}; \quad \frac{13}{39} = \frac{1}{3} $$

Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, уравнения описывают одну и ту же прямую. Система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

ж) Дана система:

$$ \begin{cases} 24x - 9y + 12 = 0 \\ 8x - 3y + 4 = 0 \end{cases} $$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=24, b_1=-9, c_1=12$ и $a_2=8, b_2=-3, c_2=4$.

$$ \frac{24}{8} = 3; \quad \frac{-9}{-3} = 3; \quad \frac{12}{4} = 3 $$

Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, уравнения описывают одну и ту же прямую. Система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

з) Дана система:

$$ \begin{cases} 14x + 7y + 7 = 0 \\ 2x - y + 1 = 0 \end{cases} $$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=14, b_1=7$ и $a_2=2, b_2=-1$.

$$ \frac{14}{2} = 7; \quad \frac{7}{-1} = -7 $$

Так как $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, прямые пересекаются. Система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

и) Дана система:

$$ \begin{cases} 34x - 22y + 25 = 0 \\ 17x - 11y + 50 = 0 \end{cases} $$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=34, b_1=-22, c_1=25$ и $a_2=17, b_2=-11, c_2=50$.

$$ \frac{34}{17} = 2; \quad \frac{-22}{-11} = 2; \quad \frac{25}{50} = \frac{1}{2} $$

Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, прямые параллельны. Система не имеет решений.

Ответ: нет решений.