Страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

717. Может ли система двух линейных уравнений с двумя неизвестными не иметь решений; иметь одно решение; иметь бесконечно много решений? Приведите примеры.

Да, система двух линейных уравнений с двумя неизвестными может иметь различное количество решений в зависимости от самих уравнений. Рассмотрим каждый случай.

не иметь решений

Система не имеет решений, если уравнения в ней противоречат друг другу. Геометрически это означает, что графики этих уравнений являются двумя параллельными прямыми, которые никогда не пересекаются.
Для системы уравнений вида:
$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $
условием отсутствия решений является пропорциональность коэффициентов при неизвестных, но не свободных членов:
$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} $
Пример:
$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases} $
Очевидно, что одно и то же выражение $x + y$ не может одновременно равняться и 3, и 5. Решений у такой системы нет. Графики этих уравнений — параллельные прямые $y = -x + 3$ и $y = -x + 5$.
Ответ: да, может не иметь решений.

иметь одно решение

Система имеет одно единственное решение, если графики уравнений — это две прямые, пересекающиеся в одной точке. Это самый распространенный случай.
Это происходит, когда коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:
$ \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} $
Это означает, что угловые коэффициенты прямых различны, и они обязательно пересекутся в одной точке.
Пример:
$ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ x - y = -1 \end{cases} $
Можно решить эту систему, например, методом сложения. Сложив уравнения, получим: $(2x+y) + (x-y) = 4 + (-1)$, что дает $3x = 3$, и отсюда $x=1$. Подставив $x=1$ в первое уравнение, найдем $y$: $2(1) + y = 4$, откуда $y = 2$. Система имеет единственное решение $(1; 2)$.
Ответ: да, может иметь одно решение.

иметь бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. То есть, одно уравнение можно получить из другого путем умножения на некоторое число, не равное нулю.
Условием для этого случая является пропорциональность всех коэффициентов, включая свободные члены:
$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $
Пример:
$ \begin{cases} 3x - y = 2 \\ 6x - 2y = 4 \end{cases} $
Если второе уравнение разделить на 2, мы получим первое уравнение. Это означает, что оба уравнения эквивалентны и их графики совпадают. Любая точка, лежащая на прямой $y = 3x - 2$, является решением системы, а таких точек бесконечно много. Например, $(0; -2)$, $(1; 1)$, $(2; 4)$ и т.д.
Ответ: да, может иметь бесконечно много решений.

718. Является ли решением системы

$\begin{cases} x + 3y - 7 = 0, \\ 3x + y - 5 = 0 \end{cases}$

пара чисел:

а) (2; 1);

б) (1; 2)?

а) Чтобы проверить, является ли пара чисел $(2; 1)$ решением системы, необходимо подставить значения $x=2$ и $y=1$ в каждое из уравнений системы.
Подставим в первое уравнение:
$x + 3y - 7 = 0$
$2 + 3 \cdot 1 - 7 = 2 + 3 - 7 = -2$
Получилось $-2 = 0$, что является неверным равенством. Так как данная пара чисел не удовлетворяет первому уравнению, она не является решением системы.
Ответ: не является.

б) Чтобы проверить, является ли пара чисел $(1; 2)$ решением системы, необходимо подставить значения $x=1$ и $y=2$ в каждое из уравнений системы.
Подставим в первое уравнение:
$x + 3y - 7 = 0$
$1 + 3 \cdot 2 - 7 = 1 + 6 - 7 = 0$
Получилось $0 = 0$, что является верным равенством.
Теперь подставим во второе уравнение:
$3x + y - 5 = 0$
$3 \cdot 1 + 2 - 5 = 3 + 2 - 5 = 0$
Получилось $0 = 0$, что также является верным равенством.
Поскольку пара чисел $(1; 2)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы.
Ответ: является.

719. Является ли система уравнений противоречивой; имеющей бесконечно много решений; имеющей единственное решение:

а) $\begin{cases} x + y = 4, \\ x + y = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 2, \\ x + y = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x - y = 1? \end{cases}$

а) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 4, \\ x + y = 9; \end{cases} $
В данной системе левые части уравнений одинаковы ($x+y$), а правые части различны (4 и 9). Это означает, что одно и то же выражение должно одновременно равняться двум разным числам, что невозможно.
Если мы вычтем первое уравнение из второго, мы получим:
$(x+y) - (x+y) = 9 - 4$
$0 = 5$
Полученное неверное равенство говорит о том, что у системы нет решений. Такая система называется противоречивой или несовместной.
Геометрически, каждое уравнение представляет собой прямую. Уравнение $x+y=4$ эквивалентно $y=-x+4$, а уравнение $x+y=9$ эквивалентно $y=-x+9$. Эти прямые имеют одинаковый угловой коэффициент (-1), но разные точки пересечения с осью Y, следовательно, они параллельны и никогда не пересекаются.
Ответ: система является противоречивой (не имеет решений).

б) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 2, \\ x + y = 2; \end{cases} $
В этой системе оба уравнения полностью идентичны. Это значит, что любое решение, удовлетворяющее первому уравнению, автоматически удовлетворяет и второму.
Мы можем выразить одну переменную через другую: $y = 2 - x$. Для любого значения $x$ мы можем найти соответствующее значение $y$, и эта пара чисел $(x, y)$ будет решением системы. Например, если $x=0$, то $y=2$; если $x=1$, то $y=1$; если $x=5$, то $y=-3$. Так как мы можем выбрать бесконечное количество значений для $x$, система имеет бесконечно много решений.
Геометрически, оба уравнения $y=-x+2$ описывают одну и ту же прямую. Каждая точка на этой прямой является решением системы.
Ответ: система имеет бесконечно много решений.

в) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x - y = 1; \end{cases} $
Эту систему можно решить методом алгебраического сложения. Сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(x+y) + (x-y) = 5 + 1$
$2x = 6$
$x = 3$
Теперь подставим найденное значение $x=3$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:
$3 + y = 5$
$y = 5 - 3$
$y = 2$
Мы получили пару чисел $(3; 2)$, которая является решением системы. Так как мы нашли конкретные значения для $x$ и $y$, это решение единственное.
Геометрически, уравнения $y=-x+5$ и $y=x-1$ представляют две прямые с разными угловыми коэффициентами (-1 и 1), которые пересекаются в одной точке с координатами $(3; 2)$.
Ответ: система имеет единственное решение.

Решите систему уравнений (720—721):

720. a) $\begin{cases} x = 3, \\ x + y - 4 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + y - 7 = 0, \\ x = -2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x - y - 8 = 0, \\ y - 1 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + 2y - 2 = 0, \\ y = -5. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x = 3, \\ x + y - 4 = 0. \end{cases} $

В данной системе значение переменной $x$ уже известно из первого уравнения. Подставим $x = 3$ во второе уравнение:

$3 + y - 4 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:

$y - 1 = 0$

$y = 1$

Таким образом, решение системы: $x = 3, y = 1$.

Ответ: $(3; 1)$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y - 7 = 0, \\ x = -2. \end{cases} $

Подставим значение $x = -2$ из второго уравнения в первое:

$2(-2) + y - 7 = 0$

Упростим полученное уравнение:

$-4 + y - 7 = 0$

$y - 11 = 0$

Отсюда находим $y$:

$y = 11$

Таким образом, решение системы: $x = -2, y = 11$.

Ответ: $(-2; 11)$.

в) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x - y - 8 = 0, \\ y - 1 = 0. \end{cases} $

Из второго уравнения $y - 1 = 0$ найдем значение $y$:

$y = 1$

Подставим найденное значение $y = 1$ в первое уравнение:

$3x - 1 - 8 = 0$

Упростим уравнение и решим его относительно $x$:

$3x - 9 = 0$

$3x = 9$

$x = \frac{9}{3}$

$x = 3$

Таким образом, решение системы: $x = 3, y = 1$.

Ответ: $(3; 1)$.

г) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 2y - 2 = 0, \\ y = -5. \end{cases} $

Подставим значение $y = -5$ из второго уравнения в первое:

$3x + 2(-5) - 2 = 0$

Упростим уравнение и решим его относительно $x$:

$3x - 10 - 2 = 0$

$3x - 12 = 0$

$3x = 12$

$x = \frac{12}{3}$

$x = 4$

Таким образом, решение системы: $x = 4, y = -5$.

Ответ: $(4; -5)$.

721. a) $\begin{cases} 4x + 4y = 2, \\ 2x + 2y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + y = 1, \\ 2x - y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 3, \\ 3x + 3y = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 2y = 4, \\ x - 4 = 2y. \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x + 4y = 2 \\ 2x + 2y = 1 \end{cases} $.
Разделим обе части первого уравнения на 2:
$ (4x + 4y) \div 2 = 2 \div 2 $
$ 2x + 2y = 1 $
После этого преобразования система выглядит так: $ \begin{cases} 2x + 2y = 1 \\ 2x + 2y = 1 \end{cases} $.
Оба уравнения идентичны. Это означает, что графики уравнений совпадают, и система имеет бесконечное множество решений. Любая точка, лежащая на прямой $2x + 2y = 1$, является решением.
Выразим переменную $y$ через $x$:
$ 2y = 1 - 2x $
$ y = \frac{1 - 2x}{2} $ или $ y = 0.5 - x $.
Таким образом, любое решение системы можно записать в виде $(x, 0.5 - x)$, где $x$ — любое действительное число.
Ответ: система имеет бесконечное множество решений вида $(x, 0.5 - x)$, где $x$ – любое число.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $.
Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$ (2x + y) + (2x - y) = 1 + 1 $
$ 4x = 2 $
$ x = \frac{2}{4} = 0.5 $
Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:
$ 2(0.5) + y = 1 $
$ 1 + y = 1 $
$ y = 0 $
Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение:
$ 2(0.5) - 0 = 1 $
$ 1 = 1 $. Верно.
Таким образом, система имеет единственное решение.
Ответ: $(0.5, 0)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 3 \\ 3x + 3y = 6 \end{cases} $.
Разделим обе части второго уравнения на 3:
$ (3x + 3y) \div 3 = 6 \div 3 $
$ x + y = 2 $
Теперь система уравнений выглядит так: $ \begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} $.
Мы получили противоречие, так как одно и то же выражение $x + y$ не может быть одновременно равно 3 и 2. Это означает, что система несовместна и не имеет решений. Графически это две параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.
Ответ: решений нет.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ x - 4 = 2y \end{cases} $.
Приведем второе уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$, перенеся $2y$ в левую часть, а $-4$ в правую:
$ x - 2y = 4 $
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ x - 2y = 4 \end{cases} $.
Оба уравнения в системе одинаковы. Это означает, что система, как и в пункте а), имеет бесконечное множество решений. Все точки прямой $x - 2y = 4$ являются решениями.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения:
$ x = 4 + 2y $.
Таким образом, любое решение системы можно записать в виде $(4 + 2y, y)$, где $y$ — любое действительное число.
Ответ: система имеет бесконечное множество решений вида $(4 + 2y, y)$, где $y$ – любое число.

722. Составьте систему двух линейных уравнений, такую, чтобы одно из уравнений было $3x - 4y = 2$ и она:

а) была противоречива;

б) имела бесконечно много решений.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

Одно из уравнений нам дано: $3x - 4y = 2$. Здесь $a_1=3$, $b_1=-4$, $c_1=2$. Нам нужно составить второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$, удовлетворяющее заданным условиям.

а) была противоречива

Система линейных уравнений не имеет решений (является противоречивой или несовместной), если графики уравнений — это параллельные прямые, которые не совпадают. Алгебраически это означает, что коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены не удовлетворяют этой пропорции. Условие выглядит так:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$

Для нашего уравнения $3x - 4y = 2$ мы должны подобрать коэффициенты $a_2, b_2, c_2$ для второго уравнения. Чтобы коэффициенты при $x$ и $y$ были пропорциональны, мы можем умножить левую часть первого уравнения на любое число, отличное от нуля. Например, умножим на 2:

$2 \cdot (3x - 4y) = 6x - 8y$.

Таким образом, мы можем взять $a_2 = 6$ и $b_2 = -8$. Проверим пропорцию: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$. Равенство $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ выполняется.

Теперь нам нужно, чтобы отношение свободных членов не было равно этому значению:

$\frac{c_1}{c_2} \ne \frac{1}{2}$

Подставляя $c_1=2$, получаем: $\frac{2}{c_2} \ne \frac{1}{2}$, что означает $c_2 \ne 4$.

Мы можем выбрать любое значение для $c_2$, кроме 4. Например, пусть $c_2 = 5$.
Тогда второе уравнение будет $6x - 8y = 5$.
Искомая система:

$ \begin{cases} 3x - 4y = 2 \\ 6x - 8y = 5 \end{cases} $

Ответ: Например, такая система:
$ \begin{cases} 3x - 4y = 2 \\ 6x - 8y = 5 \end{cases} $

б) имела бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если графики уравнений — это одна и та же прямая (совпадают). Алгебраически это означает, что и коэффициенты при переменных, и свободные члены пропорциональны. Условие выглядит так:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Для нашего уравнения $3x - 4y = 2$ мы должны подобрать второе уравнение так, чтобы оно было эквивалентно первому. Этого можно достичь, умножив обе части первого уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. Например, умножим на 3:

$3 \cdot (3x - 4y = 2)$

$9x - 12y = 6$

Таким образом, мы можем взять $a_2 = 9$, $b_2 = -12$ и $c_2 = 6$. Проверим пропорцию:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Все отношения равны. Условие выполняется. Искомая система:

$ \begin{cases} 3x - 4y = 2 \\ 9x - 12y = 6 \end{cases} $

Ответ: Например, такая система:
$ \begin{cases} 3x - 4y = 2 \\ 9x - 12y = 6 \end{cases} $

Решите систему уравнений (723—725):

723. a) $\begin{cases} x - y = 5, \\ -4x + 4y = 20; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + 3y + 4 = 0, \\ 5x + 6y = 7; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x - 2y = 11, \\ 4x - 5y = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5x + 6y = 13, \\ 7x + 18y + 1 = 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 7x + 6y = 1,5, \\ 4x - 9y - 5 = 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 3x + 4y = 3,5, \\ -3x - 4y = 40. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 5, \\ -4x + 4y = 20; \end{cases} $$

Для решения системы используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 4: $$4(x - y) = 4 \cdot 5$$ $$4x - 4y = 20$$

Теперь система выглядит так: $$ \begin{cases} 4x - 4y = 20, \\ -4x + 4y = 20; \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы: $$(4x - 4y) + (-4x + 4y) = 20 + 20$$ $$0 = 40$$

Получено неверное числовое равенство. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 3y + 4 = 0, \\ 5x + 6y = 7; \end{cases} $$ Приведем первое уравнение к стандартному виду $2x + 3y = -4$. Система примет вид: $$ \begin{cases} 2x + 3y = -4, \\ 5x + 6y = 7; \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными: $$-2(2x + 3y) = -2(-4)$$ $$-4x - 6y = 8$$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы: $$(-4x - 6y) + (5x + 6y) = 8 + 7$$ $$x = 15$$

Подставим найденное значение $x = 15$ в уравнение $2x + 3y = -4$: $$2(15) + 3y = -4$$ $$30 + 3y = -4$$ $$3y = -4 - 30$$ $$3y = -34$$ $$y = -\frac{34}{3}$$

Ответ: $(15; -\frac{34}{3})$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 2y = 11, \\ 4x - 5y = 3; \end{cases} $$

Для решения системы используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными: $$ \begin{cases} 5(3x - 2y) = 5 \cdot 11, \\ -2(4x - 5y) = -2 \cdot 3; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 15x - 10y = 55, \\ -8x + 10y = -6; \end{cases} $$

Теперь сложим два уравнения системы: $$(15x - 10y) + (-8x + 10y) = 55 + (-6)$$ $$7x = 49$$ $$x = \frac{49}{7} = 7$$

Подставим найденное значение $x=7$ в первое исходное уравнение $3x - 2y = 11$: $$3(7) - 2y = 11$$ $$21 - 2y = 11$$ $$-2y = 11 - 21$$ $$-2y = -10$$ $$y = \frac{-10}{-2} = 5$$

Ответ: $(7; 5)$.

г)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 5x + 6y = 13, \\ 7x + 18y + 1 = 0; \end{cases} $$ Приведем второе уравнение к стандартному виду $7x + 18y = -1$. Система примет вид: $$ \begin{cases} 5x + 6y = 13, \\ 7x + 18y = -1; \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -3: $$-3(5x + 6y) = -3 \cdot 13$$ $$-15x - 18y = -39$$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы: $$(-15x - 18y) + (7x + 18y) = -39 + (-1)$$ $$-8x = -40$$ $$x = \frac{-40}{-8} = 5$$

Подставим $x = 5$ в первое уравнение $5x + 6y = 13$: $$5(5) + 6y = 13$$ $$25 + 6y = 13$$ $$6y = 13 - 25$$ $$6y = -12$$ $$y = -2$$

Ответ: $(5; -2)$.

д)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 7x + 6y = 1,5, \\ 4x - 9y - 5 = 0; \end{cases} $$ Приведем второе уравнение к стандартному виду $4x - 9y = 5$. Система примет вид: $$ \begin{cases} 7x + 6y = 1,5, \\ 4x - 9y = 5; \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы избавиться от $y$: $$ \begin{cases} 3(7x + 6y) = 3 \cdot 1,5, \\ 2(4x - 9y) = 2 \cdot 5; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 21x + 18y = 4,5, \\ 8x - 18y = 10; \end{cases} $$

Сложим два уравнения полученной системы: $$(21x + 18y) + (8x - 18y) = 4,5 + 10$$ $$29x = 14,5$$ $$x = \frac{14,5}{29} = 0,5$$

Подставим $x = 0,5$ в первое уравнение $7x + 6y = 1,5$: $$7(0,5) + 6y = 1,5$$ $$3,5 + 6y = 1,5$$ $$6y = 1,5 - 3,5$$ $$6y = -2$$ $$y = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Ответ: $(0,5; -\frac{1}{3})$.

е)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x + 4y = 3,5, \\ -3x - 4y = 40. \end{cases} $$

Воспользуемся методом сложения и сложим два уравнения системы, так как коэффициенты при $x$ и $y$ являются противоположными числами: $$(3x + 4y) + (-3x - 4y) = 3,5 + 40$$ $$0 = 43,5$$

Получено неверное числовое равенство. Это означает, что данная система уравнений не имеет решений.

Ответ: нет решений.

724. a) $\begin{cases} \frac{x - 3}{2} + \frac{y + 4}{6} = 2 \\ \frac{1}{3}(x + 2) - y = \frac{1}{3} \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{5x}{2} + \frac{y}{5} + 4 = 0 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = \frac{1}{6} \end{cases}$

В) $\begin{cases} \frac{x + 3}{2} - \frac{y - 2}{3} = 2 \\ \frac{x - 1}{4} + \frac{y + 1}{3} = 4 \end{cases}$

Г) $\begin{cases} \frac{x + y}{9} - \frac{x - y}{3} = 2 \\ \frac{2x - y}{6} - \frac{3x + 2y}{3} = -20 \end{cases}$

Д) $\begin{cases} \frac{2x}{9} + \frac{y}{4} = 0 \\ \frac{5x}{12} + \frac{y}{3} = 1 \end{cases}$

e) $\begin{cases} \frac{x + y}{2} - \frac{2y}{3} = 2\frac{1}{2} \\ \frac{3x}{2} + 2y = 0 \end{cases}$

Ж) $\begin{cases} \frac{x + y}{2} - \frac{x - y}{3} = 8 \\ \frac{x + 3}{3} + \frac{x - y}{4} = 11 \end{cases}$

З) $\begin{cases} \frac{2x - 1}{5} + \frac{3y - 2}{4} = 2 \\ \frac{3x + 1}{5} - \frac{3y + 2}{4} = 0 \end{cases}$

а)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{x - 3}{2} + \frac{y + 4}{6} = 2 \\ \frac{1}{3}(x + 2) - y = \frac{1}{3} \end{cases} $

Сначала упростим оба уравнения, избавившись от дробей.Умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 6):
$ 6 \cdot \frac{x - 3}{2} + 6 \cdot \frac{y + 4}{6} = 6 \cdot 2 $
$ 3(x - 3) + (y + 4) = 12 $
$ 3x - 9 + y + 4 = 12 $
$ 3x + y = 17 $

Умножим второе уравнение на 3:
$ 3 \cdot \frac{1}{3}(x + 2) - 3 \cdot y = 3 \cdot \frac{1}{3} $
$ (x + 2) - 3y = 1 $
$ x - 3y = -1 $

Теперь решим полученную систему линейных уравнений:$ \begin{cases} 3x + y = 17 \\ x - 3y = -1 \end{cases} $Из первого уравнения выразим $y$: $y = 17 - 3x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ x - 3(17 - 3x) = -1 $
$ x - 51 + 9x = -1 $
$ 10x = 50 $
$ x = 5 $
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$ y = 17 - 3 \cdot 5 = 17 - 15 = 2 $

Ответ: (5; 2).

б)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{5x}{2} + \frac{y}{5} + 4 = 0 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = \frac{1}{6} \end{cases} $

Упростим первое уравнение. Перенесем 4 в правую часть и умножим уравнение на 10 (НОК для 2 и 5):
$ \frac{5x}{2} + \frac{y}{5} = -4 $
$ 10 \cdot \frac{5x}{2} + 10 \cdot \frac{y}{5} = 10 \cdot (-4) $
$ 25x + 2y = -40 $

Упростим второе уравнение, умножив его на 6 (НОК для 3 и 6):
$ 6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{y}{6} = 6 \cdot \frac{1}{6} $
$ 2x + y = 1 $

Решаем систему:$ \begin{cases} 25x + 2y = -40 \\ 2x + y = 1 \end{cases} $Из второго уравнения выразим $y$: $y = 1 - 2x$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 25x + 2(1 - 2x) = -40 $
$ 25x + 2 - 4x = -40 $
$ 21x = -42 $
$ x = -2 $
Найдем $y$:
$ y = 1 - 2(-2) = 1 + 4 = 5 $

Ответ: (-2; 5).

в)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{x + 3}{2} - \frac{y - 2}{3} = 2 \\ \frac{x - 1}{4} + \frac{y + 1}{3} = 4 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив на 6 (НОК для 2 и 3):
$ 3(x + 3) - 2(y - 2) = 12 $
$ 3x + 9 - 2y + 4 = 12 $
$ 3x - 2y = -1 $

Упростим второе уравнение, умножив на 12 (НОК для 4 и 3):
$ 3(x - 1) + 4(y + 1) = 48 $
$ 3x - 3 + 4y + 4 = 48 $
$ 3x + 4y = 47 $

Решаем систему:$ \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 3x + 4y = 47 \end{cases} $Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить $x$:
$ (3x + 4y) - (3x - 2y) = 47 - (-1) $
$ 6y = 48 $
$ y = 8 $
Подставим $y = 8$ в первое упрощенное уравнение:
$ 3x - 2(8) = -1 $
$ 3x - 16 = -1 $
$ 3x = 15 $
$ x = 5 $

Ответ: (5; 8).

г)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{x + y}{9} - \frac{x - y}{3} = 2 \\ \frac{2x - y}{6} - \frac{3x + 2y}{3} = -20 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив на 9 (НОК для 9 и 3):
$ (x + y) - 3(x - y) = 18 $
$ x + y - 3x + 3y = 18 $
$ -2x + 4y = 18 $
Разделим на 2: $ -x + 2y = 9 $

Упростим второе уравнение, умножив на 6 (НОК для 6 и 3):
$ (2x - y) - 2(3x + 2y) = -120 $
$ 2x - y - 6x - 4y = -120 $
$ -4x - 5y = -120 $
Умножим на -1: $ 4x + 5y = 120 $

Решаем систему:$ \begin{cases} -x + 2y = 9 \\ 4x + 5y = 120 \end{cases} $Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2y - 9$.
Подставим во второе уравнение:
$ 4(2y - 9) + 5y = 120 $
$ 8y - 36 + 5y = 120 $
$ 13y = 156 $
$ y = 12 $
Найдем $x$:
$ x = 2(12) - 9 = 24 - 9 = 15 $

Ответ: (15; 12).

д)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{2x}{9} + \frac{y}{4} = 0 \\ \frac{5x}{12} + \frac{y}{3} = 1 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив на 36 (НОК для 9 и 4):
$ 36 \cdot \frac{2x}{9} + 36 \cdot \frac{y}{4} = 0 $
$ 4(2x) + 9(y) = 0 $
$ 8x + 9y = 0 $

Упростим второе уравнение, умножив на 12 (НОК для 12 и 3):
$ 12 \cdot \frac{5x}{12} + 12 \cdot \frac{y}{3} = 12 \cdot 1 $
$ 5x + 4y = 12 $

Решаем систему:$ \begin{cases} 8x + 9y = 0 \\ 5x + 4y = 12 \end{cases} $Из первого уравнения: $8x = -9y \implies x = -\frac{9y}{8}$.
Подставим во второе уравнение:
$ 5(-\frac{9y}{8}) + 4y = 12 $
$ -\frac{45y}{8} + \frac{32y}{8} = 12 $
$ -\frac{13y}{8} = 12 $
$ -13y = 96 \implies y = -\frac{96}{13} $
Найдем $x$:
$ x = -\frac{9}{8} \cdot (-\frac{96}{13}) = \frac{9 \cdot 12}{13} = \frac{108}{13} $

Ответ: $(\frac{108}{13}; -\frac{96}{13})$.

е)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{x + y}{2} - \frac{2y}{3} = 2\frac{1}{2} \\ \frac{3x}{2} + 2y = 0 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, представив $2\frac{1}{2}$ как $\frac{5}{2}$ и умножив на 6 (НОК для 2 и 3):
$ 3(x + y) - 2(2y) = 6 \cdot \frac{5}{2} $
$ 3x + 3y - 4y = 15 $
$ 3x - y = 15 $

Упростим второе уравнение, умножив на 2:
$ 3x + 4y = 0 $

Решаем систему:$ \begin{cases} 3x - y = 15 \\ 3x + 4y = 0 \end{cases} $Вычтем первое уравнение из второго:
$ (3x + 4y) - (3x - y) = 0 - 15 $
$ 5y = -15 $
$ y = -3 $
Подставим $y = -3$ в первое упрощенное уравнение:
$ 3x - (-3) = 15 $
$ 3x + 3 = 15 $
$ 3x = 12 $
$ x = 4 $

Ответ: (4; -3).

ж)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{x + y}{2} - \frac{x - y}{3} = 8 \\ \frac{x + 3}{3} + \frac{x - y}{4} = 11 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив на 6:
$ 3(x + y) - 2(x - y) = 48 $
$ 3x + 3y - 2x + 2y = 48 $
$ x + 5y = 48 $

Упростим второе уравнение, умножив на 12:
$ 4(x + 3) + 3(x - y) = 132 $
$ 4x + 12 + 3x - 3y = 132 $
$ 7x - 3y = 120 $

Решаем систему:$ \begin{cases} x + 5y = 48 \\ 7x - 3y = 120 \end{cases} $Из первого уравнения: $x = 48 - 5y$.
Подставим во второе уравнение:
$ 7(48 - 5y) - 3y = 120 $
$ 336 - 35y - 3y = 120 $
$ -38y = 120 - 336 $
$ -38y = -216 $
$ y = \frac{216}{38} = \frac{108}{19} $
Найдем $x$:
$ x = 48 - 5 \cdot \frac{108}{19} = \frac{48 \cdot 19 - 540}{19} = \frac{912 - 540}{19} = \frac{372}{19} $

Ответ: $(\frac{372}{19}; \frac{108}{19})$.

з)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{2x - 1}{5} + \frac{3y - 2}{4} = 2 \\ \frac{3x + 1}{5} - \frac{3y + 2}{4} = 0 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно сложить два уравнения. Это позволит сразу исключить переменную $y$.
$ \left(\frac{2x - 1}{5} + \frac{3y - 2}{4}\right) + \left(\frac{3x + 1}{5} - \frac{3y + 2}{4}\right) = 2 + 0 $
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$ \left(\frac{2x - 1}{5} + \frac{3x + 1}{5}\right) + \left(\frac{3y - 2}{4} - \frac{3y + 2}{4}\right) = 2 $
$ \frac{2x - 1 + 3x + 1}{5} + \frac{3y - 2 - (3y + 2)}{4} = 2 $
$ \frac{5x}{5} + \frac{3y - 2 - 3y - 2}{4} = 2 $
$ x + \frac{-4}{4} = 2 $
$ x - 1 = 2 $
$ x = 3 $

Теперь подставим $x=3$ во второе исходное уравнение:
$ \frac{3(3) + 1}{5} - \frac{3y + 2}{4} = 0 $
$ \frac{10}{5} - \frac{3y + 2}{4} = 0 $
$ 2 - \frac{3y + 2}{4} = 0 $
$ 2 = \frac{3y + 2}{4} $
Умножим обе части на 4:
$ 8 = 3y + 2 $
$ 6 = 3y $
$ y = 2 $

Ответ: (3; 2).