Номер 717, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 717, страница 202.

Условие.

717. Может ли система двух линейных уравнений с двумя неизвестными не иметь решений; иметь одно решение; иметь бесконечно много решений? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Да, система двух линейных уравнений с двумя неизвестными может иметь различное количество решений в зависимости от самих уравнений. Рассмотрим каждый случай.

не иметь решений

Система не имеет решений, если уравнения в ней противоречат друг другу. Геометрически это означает, что графики этих уравнений являются двумя параллельными прямыми, которые никогда не пересекаются.
Для системы уравнений вида:
$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $
условием отсутствия решений является пропорциональность коэффициентов при неизвестных, но не свободных членов:
$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} $
Пример:
$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases} $
Очевидно, что одно и то же выражение $x + y$ не может одновременно равняться и 3, и 5. Решений у такой системы нет. Графики этих уравнений — параллельные прямые $y = -x + 3$ и $y = -x + 5$.
Ответ: да, может не иметь решений.

иметь одно решение

Система имеет одно единственное решение, если графики уравнений — это две прямые, пересекающиеся в одной точке. Это самый распространенный случай.
Это происходит, когда коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:
$ \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} $
Это означает, что угловые коэффициенты прямых различны, и они обязательно пересекутся в одной точке.
Пример:
$ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ x - y = -1 \end{cases} $
Можно решить эту систему, например, методом сложения. Сложив уравнения, получим: $(2x+y) + (x-y) = 4 + (-1)$, что дает $3x = 3$, и отсюда $x=1$. Подставив $x=1$ в первое уравнение, найдем $y$: $2(1) + y = 4$, откуда $y = 2$. Система имеет единственное решение $(1; 2)$.
Ответ: да, может иметь одно решение.

иметь бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. То есть, одно уравнение можно получить из другого путем умножения на некоторое число, не равное нулю.
Условием для этого случая является пропорциональность всех коэффициентов, включая свободные члены:
$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $
Пример:
$ \begin{cases} 3x - y = 2 \\ 6x - 2y = 4 \end{cases} $
Если второе уравнение разделить на 2, мы получим первое уравнение. Это означает, что оба уравнения эквивалентны и их графики совпадают. Любая точка, лежащая на прямой $y = 3x - 2$, является решением системы, а таких точек бесконечно много. Например, $(0; -2)$, $(1; 1)$, $(2; 4)$ и т.д.
Ответ: да, может иметь бесконечно много решений.