Номер 712, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 712, страница 199.

Условие.

712. Равносильны ли уравнения с двумя неизвестными, если все решения каждого из них являются решениями другого?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Да, такие уравнения являются равносильными.

По определению, два уравнения с двумя неизвестными называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Иными словами, каждое решение первого уравнения должно быть решением второго, и наоборот, каждое решение второго уравнения должно быть решением первого.

Рассмотрим условие, данное в задаче: "все решения каждого из них являются решениями другого". Это условие можно разбить на две части:

1. Каждое решение первого уравнения является решением второго.
2. Каждое решение второго уравнения является решением первого.

Пусть $M_1$ — это множество всех решений (пар чисел $(x, y)$) первого уравнения, а $M_2$ — множество всех решений второго уравнения.

Тогда первая часть условия означает, что множество $M_1$ является подмножеством множества $M_2$, что записывается как $M_1 \subseteq M_2$.

Вторая часть условия означает, что множество $M_2$ является подмножеством множества $M_1$, что записывается как $M_2 \subseteq M_1$.

В теории множеств два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого. То есть, из условий $M_1 \subseteq M_2$ и $M_2 \subseteq M_1$ следует, что $M_1 = M_2$.

Таким образом, множества решений двух уравнений полностью совпадают. А это и есть определение равносильных уравнений. Следовательно, утверждение в вопросе верно.

Ответ: Да, такие уравнения равносильны, так как условие, приведённое в задаче, является определением равносильности уравнений.