Номер 714, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 714, страница 199.

Условие.

714. Составьте две системы уравнений, равносильные данной:

а) $\begin{cases} 4x - 2y + 5 = 0, \\ 3x + y - 2 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x + y - 4 = 0, \\ -y = 5 - 2x. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x - 2y + 5 = 0, \\ 3x + y - 2 = 0. \end{cases} $

Первая равносильная система

Для получения первой равносильной системы преобразуем каждое уравнение, перенеся свободные члены (числа без переменных) в правую часть. Это является равносильным преобразованием, так как множество решений системы не меняется.

Первое уравнение: $4x - 2y + 5 = 0$ становится $4x - 2y = -5$.

Второе уравнение: $3x + y - 2 = 0$ становится $3x + y = 2$.

В результате получаем систему, равносильную исходной.

Ответ: $ \begin{cases} 4x - 2y = -5, \\ 3x + y = 2. \end{cases} $

Вторая равносильная система

Для получения второй системы используем метод подстановки. Выразим переменную $y$ из второго уравнения $3x + y - 2 = 0$:

$y = 2 - 3x$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение $4x - 2y + 5 = 0$:

$4x - 2(2 - 3x) + 5 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x - 4 + 6x + 5 = 0$

$10x + 1 = 0$

Новая система, состоящая из полученного уравнения ($10x + 1 = 0$) и выражения для $y$ ($y = 2 - 3x$), будет равносильна исходной.

Ответ: $ \begin{cases} 10x + 1 = 0, \\ y = 2 - 3x. \end{cases} $

---

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y - 4 = 0, \\ -y = 5 - 2x. \end{cases} $

Первая равносильная система

Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$, перенося члены уравнения. Это равносильное преобразование.

Первое уравнение $3x + y - 4 = 0$ преобразуется в $3x + y = 4$.

Второе уравнение $-y = 5 - 2x$ преобразуется в $2x - y = 5$.

Получаем следующую равносильную систему:

Ответ: $ \begin{cases} 3x + y = 4, \\ 2x - y = 5. \end{cases} $

Вторая равносильная система

Используем метод алгебраического сложения на системе, полученной в предыдущем шаге: $ \begin{cases} 3x + y = 4, \\ 2x - y = 5. \end{cases} $

Сложим левые и правые части уравнений почленно:

$(3x + y) + (2x - y) = 4 + 5$

$5x = 9$

Теперь заменим первое уравнение в системе $ \begin{cases} 3x + y = 4, \\ 2x - y = 5. \end{cases} $ на результат сложения. Второе уравнение оставим без изменений. Полученная система будет равносильна исходной.

Ответ: $ \begin{cases} 5x = 9, \\ 2x - y = 5. \end{cases} $