Номер 719, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 719, страница 202.

Условие.

719. Является ли система уравнений противоречивой; имеющей бесконечно много решений; имеющей единственное решение:

а) $\begin{cases} x + y = 4, \\ x + y = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 2, \\ x + y = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x - y = 1? \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 4, \\ x + y = 9; \end{cases} $
В данной системе левые части уравнений одинаковы ($x+y$), а правые части различны (4 и 9). Это означает, что одно и то же выражение должно одновременно равняться двум разным числам, что невозможно.
Если мы вычтем первое уравнение из второго, мы получим:
$(x+y) - (x+y) = 9 - 4$
$0 = 5$
Полученное неверное равенство говорит о том, что у системы нет решений. Такая система называется противоречивой или несовместной.
Геометрически, каждое уравнение представляет собой прямую. Уравнение $x+y=4$ эквивалентно $y=-x+4$, а уравнение $x+y=9$ эквивалентно $y=-x+9$. Эти прямые имеют одинаковый угловой коэффициент (-1), но разные точки пересечения с осью Y, следовательно, они параллельны и никогда не пересекаются.
Ответ: система является противоречивой (не имеет решений).

б) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 2, \\ x + y = 2; \end{cases} $
В этой системе оба уравнения полностью идентичны. Это значит, что любое решение, удовлетворяющее первому уравнению, автоматически удовлетворяет и второму.
Мы можем выразить одну переменную через другую: $y = 2 - x$. Для любого значения $x$ мы можем найти соответствующее значение $y$, и эта пара чисел $(x, y)$ будет решением системы. Например, если $x=0$, то $y=2$; если $x=1$, то $y=1$; если $x=5$, то $y=-3$. Так как мы можем выбрать бесконечное количество значений для $x$, система имеет бесконечно много решений.
Геометрически, оба уравнения $y=-x+2$ описывают одну и ту же прямую. Каждая точка на этой прямой является решением системы.
Ответ: система имеет бесконечно много решений.

в) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x - y = 1; \end{cases} $
Эту систему можно решить методом алгебраического сложения. Сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(x+y) + (x-y) = 5 + 1$
$2x = 6$
$x = 3$
Теперь подставим найденное значение $x=3$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:
$3 + y = 5$
$y = 5 - 3$
$y = 2$
Мы получили пару чисел $(3; 2)$, которая является решением системы. Так как мы нашли конкретные значения для $x$ и $y$, это решение единственное.
Геометрически, уравнения $y=-x+5$ и $y=x-1$ представляют две прямые с разными угловыми коэффициентами (-1 и 1), которые пересекаются в одной точке с координатами $(3; 2)$.
Ответ: система имеет единственное решение.