Номер 724, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 724, страница 202.

Условие.

724. a) $\begin{cases} \frac{x - 3}{2} + \frac{y + 4}{6} = 2 \\ \frac{1}{3}(x + 2) - y = \frac{1}{3} \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{5x}{2} + \frac{y}{5} + 4 = 0 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = \frac{1}{6} \end{cases}$

В) $\begin{cases} \frac{x + 3}{2} - \frac{y - 2}{3} = 2 \\ \frac{x - 1}{4} + \frac{y + 1}{3} = 4 \end{cases}$

Г) $\begin{cases} \frac{x + y}{9} - \frac{x - y}{3} = 2 \\ \frac{2x - y}{6} - \frac{3x + 2y}{3} = -20 \end{cases}$

Д) $\begin{cases} \frac{2x}{9} + \frac{y}{4} = 0 \\ \frac{5x}{12} + \frac{y}{3} = 1 \end{cases}$

e) $\begin{cases} \frac{x + y}{2} - \frac{2y}{3} = 2\frac{1}{2} \\ \frac{3x}{2} + 2y = 0 \end{cases}$

Ж) $\begin{cases} \frac{x + y}{2} - \frac{x - y}{3} = 8 \\ \frac{x + 3}{3} + \frac{x - y}{4} = 11 \end{cases}$

З) $\begin{cases} \frac{2x - 1}{5} + \frac{3y - 2}{4} = 2 \\ \frac{3x + 1}{5} - \frac{3y + 2}{4} = 0 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{x - 3}{2} + \frac{y + 4}{6} = 2 \\ \frac{1}{3}(x + 2) - y = \frac{1}{3} \end{cases} $

Сначала упростим оба уравнения, избавившись от дробей.Умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 6):
$ 6 \cdot \frac{x - 3}{2} + 6 \cdot \frac{y + 4}{6} = 6 \cdot 2 $
$ 3(x - 3) + (y + 4) = 12 $
$ 3x - 9 + y + 4 = 12 $
$ 3x + y = 17 $

Умножим второе уравнение на 3:
$ 3 \cdot \frac{1}{3}(x + 2) - 3 \cdot y = 3 \cdot \frac{1}{3} $
$ (x + 2) - 3y = 1 $
$ x - 3y = -1 $

Теперь решим полученную систему линейных уравнений:$ \begin{cases} 3x + y = 17 \\ x - 3y = -1 \end{cases} $Из первого уравнения выразим $y$: $y = 17 - 3x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ x - 3(17 - 3x) = -1 $
$ x - 51 + 9x = -1 $
$ 10x = 50 $
$ x = 5 $
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$ y = 17 - 3 \cdot 5 = 17 - 15 = 2 $

Ответ: (5; 2).

б)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{5x}{2} + \frac{y}{5} + 4 = 0 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = \frac{1}{6} \end{cases} $

Упростим первое уравнение. Перенесем 4 в правую часть и умножим уравнение на 10 (НОК для 2 и 5):
$ \frac{5x}{2} + \frac{y}{5} = -4 $
$ 10 \cdot \frac{5x}{2} + 10 \cdot \frac{y}{5} = 10 \cdot (-4) $
$ 25x + 2y = -40 $

Упростим второе уравнение, умножив его на 6 (НОК для 3 и 6):
$ 6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{y}{6} = 6 \cdot \frac{1}{6} $
$ 2x + y = 1 $

Решаем систему:$ \begin{cases} 25x + 2y = -40 \\ 2x + y = 1 \end{cases} $Из второго уравнения выразим $y$: $y = 1 - 2x$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 25x + 2(1 - 2x) = -40 $
$ 25x + 2 - 4x = -40 $
$ 21x = -42 $
$ x = -2 $
Найдем $y$:
$ y = 1 - 2(-2) = 1 + 4 = 5 $

Ответ: (-2; 5).

в)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{x + 3}{2} - \frac{y - 2}{3} = 2 \\ \frac{x - 1}{4} + \frac{y + 1}{3} = 4 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив на 6 (НОК для 2 и 3):
$ 3(x + 3) - 2(y - 2) = 12 $
$ 3x + 9 - 2y + 4 = 12 $
$ 3x - 2y = -1 $

Упростим второе уравнение, умножив на 12 (НОК для 4 и 3):
$ 3(x - 1) + 4(y + 1) = 48 $
$ 3x - 3 + 4y + 4 = 48 $
$ 3x + 4y = 47 $

Решаем систему:$ \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 3x + 4y = 47 \end{cases} $Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить $x$:
$ (3x + 4y) - (3x - 2y) = 47 - (-1) $
$ 6y = 48 $
$ y = 8 $
Подставим $y = 8$ в первое упрощенное уравнение:
$ 3x - 2(8) = -1 $
$ 3x - 16 = -1 $
$ 3x = 15 $
$ x = 5 $

Ответ: (5; 8).

г)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{x + y}{9} - \frac{x - y}{3} = 2 \\ \frac{2x - y}{6} - \frac{3x + 2y}{3} = -20 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив на 9 (НОК для 9 и 3):
$ (x + y) - 3(x - y) = 18 $
$ x + y - 3x + 3y = 18 $
$ -2x + 4y = 18 $
Разделим на 2: $ -x + 2y = 9 $

Упростим второе уравнение, умножив на 6 (НОК для 6 и 3):
$ (2x - y) - 2(3x + 2y) = -120 $
$ 2x - y - 6x - 4y = -120 $
$ -4x - 5y = -120 $
Умножим на -1: $ 4x + 5y = 120 $

Решаем систему:$ \begin{cases} -x + 2y = 9 \\ 4x + 5y = 120 \end{cases} $Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2y - 9$.
Подставим во второе уравнение:
$ 4(2y - 9) + 5y = 120 $
$ 8y - 36 + 5y = 120 $
$ 13y = 156 $
$ y = 12 $
Найдем $x$:
$ x = 2(12) - 9 = 24 - 9 = 15 $

Ответ: (15; 12).

д)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{2x}{9} + \frac{y}{4} = 0 \\ \frac{5x}{12} + \frac{y}{3} = 1 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив на 36 (НОК для 9 и 4):
$ 36 \cdot \frac{2x}{9} + 36 \cdot \frac{y}{4} = 0 $
$ 4(2x) + 9(y) = 0 $
$ 8x + 9y = 0 $

Упростим второе уравнение, умножив на 12 (НОК для 12 и 3):
$ 12 \cdot \frac{5x}{12} + 12 \cdot \frac{y}{3} = 12 \cdot 1 $
$ 5x + 4y = 12 $

Решаем систему:$ \begin{cases} 8x + 9y = 0 \\ 5x + 4y = 12 \end{cases} $Из первого уравнения: $8x = -9y \implies x = -\frac{9y}{8}$.
Подставим во второе уравнение:
$ 5(-\frac{9y}{8}) + 4y = 12 $
$ -\frac{45y}{8} + \frac{32y}{8} = 12 $
$ -\frac{13y}{8} = 12 $
$ -13y = 96 \implies y = -\frac{96}{13} $
Найдем $x$:
$ x = -\frac{9}{8} \cdot (-\frac{96}{13}) = \frac{9 \cdot 12}{13} = \frac{108}{13} $

Ответ: $(\frac{108}{13}; -\frac{96}{13})$.

е)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{x + y}{2} - \frac{2y}{3} = 2\frac{1}{2} \\ \frac{3x}{2} + 2y = 0 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, представив $2\frac{1}{2}$ как $\frac{5}{2}$ и умножив на 6 (НОК для 2 и 3):
$ 3(x + y) - 2(2y) = 6 \cdot \frac{5}{2} $
$ 3x + 3y - 4y = 15 $
$ 3x - y = 15 $

Упростим второе уравнение, умножив на 2:
$ 3x + 4y = 0 $

Решаем систему:$ \begin{cases} 3x - y = 15 \\ 3x + 4y = 0 \end{cases} $Вычтем первое уравнение из второго:
$ (3x + 4y) - (3x - y) = 0 - 15 $
$ 5y = -15 $
$ y = -3 $
Подставим $y = -3$ в первое упрощенное уравнение:
$ 3x - (-3) = 15 $
$ 3x + 3 = 15 $
$ 3x = 12 $
$ x = 4 $

Ответ: (4; -3).

ж)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{x + y}{2} - \frac{x - y}{3} = 8 \\ \frac{x + 3}{3} + \frac{x - y}{4} = 11 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив на 6:
$ 3(x + y) - 2(x - y) = 48 $
$ 3x + 3y - 2x + 2y = 48 $
$ x + 5y = 48 $

Упростим второе уравнение, умножив на 12:
$ 4(x + 3) + 3(x - y) = 132 $
$ 4x + 12 + 3x - 3y = 132 $
$ 7x - 3y = 120 $

Решаем систему:$ \begin{cases} x + 5y = 48 \\ 7x - 3y = 120 \end{cases} $Из первого уравнения: $x = 48 - 5y$.
Подставим во второе уравнение:
$ 7(48 - 5y) - 3y = 120 $
$ 336 - 35y - 3y = 120 $
$ -38y = 120 - 336 $
$ -38y = -216 $
$ y = \frac{216}{38} = \frac{108}{19} $
Найдем $x$:
$ x = 48 - 5 \cdot \frac{108}{19} = \frac{48 \cdot 19 - 540}{19} = \frac{912 - 540}{19} = \frac{372}{19} $

Ответ: $(\frac{372}{19}; \frac{108}{19})$.

з)

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} \frac{2x - 1}{5} + \frac{3y - 2}{4} = 2 \\ \frac{3x + 1}{5} - \frac{3y + 2}{4} = 0 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно сложить два уравнения. Это позволит сразу исключить переменную $y$.
$ \left(\frac{2x - 1}{5} + \frac{3y - 2}{4}\right) + \left(\frac{3x + 1}{5} - \frac{3y + 2}{4}\right) = 2 + 0 $
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$ \left(\frac{2x - 1}{5} + \frac{3x + 1}{5}\right) + \left(\frac{3y - 2}{4} - \frac{3y + 2}{4}\right) = 2 $
$ \frac{2x - 1 + 3x + 1}{5} + \frac{3y - 2 - (3y + 2)}{4} = 2 $
$ \frac{5x}{5} + \frac{3y - 2 - 3y - 2}{4} = 2 $
$ x + \frac{-4}{4} = 2 $
$ x - 1 = 2 $
$ x = 3 $

Теперь подставим $x=3$ во второе исходное уравнение:
$ \frac{3(3) + 1}{5} - \frac{3y + 2}{4} = 0 $
$ \frac{10}{5} - \frac{3y + 2}{4} = 0 $
$ 2 - \frac{3y + 2}{4} = 0 $
$ 2 = \frac{3y + 2}{4} $
Умножим обе части на 4:
$ 8 = 3y + 2 $
$ 6 = 3y $
$ y = 2 $

Ответ: (3; 2).