Номер 727, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.7. О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 727, страница 206.

Условие.

Исследуем (727–731).

727. При каком значении a система:

а) $\begin{cases}5x + ay + 6 = 0, \\x + 2y - 5 = 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}4x - 2ay + 2 = 0, \\2x + 5y - 1 = 0\end{cases}$

не имеет решений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases}$ не имеет решений тогда и только тогда, когда ее уравнения описывают параллельные и несовпадающие прямые. В терминах коэффициентов это условие записывается как пропорциональность коэффициентов при переменных и нарушение этой пропорции для свободных членов:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

а)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 5x + ay + 6 = 0 \\ x + 2y - 5 = 0 \end{cases}$
Здесь коэффициенты равны: $A_1 = 5$, $B_1 = a$, $C_1 = 6$ и $A_2 = 1$, $B_2 = 2$, $C_2 = -5$.
Подставим эти значения в условие отсутствия решений:
$\frac{5}{1} = \frac{a}{2} \neq \frac{6}{-5}$
Сначала решим уравнение $\frac{5}{1} = \frac{a}{2}$:
$a = 5 \cdot 2 = 10$.
Теперь необходимо проверить, что при найденном значении $a$ выполняется неравенство. Подставим $a = 10$ в $\frac{a}{2} \neq \frac{6}{-5}$:
$\frac{10}{2} \neq \frac{6}{-5}$
$5 \neq -1.2$
Неравенство истинно, значит, условие выполняется.
Ответ: $a=10$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 4x - 2ay + 2 = 0 \\ 2x + 5y - 1 = 0 \end{cases}$
Здесь коэффициенты равны: $A_1 = 4$, $B_1 = -2a$, $C_1 = 2$ и $A_2 = 2$, $B_2 = 5$, $C_2 = -1$.
Подставим эти значения в условие отсутствия решений:
$\frac{4}{2} = \frac{-2a}{5} \neq \frac{2}{-1}$
Сначала решим уравнение $\frac{4}{2} = \frac{-2a}{5}$:
$2 = \frac{-2a}{5}$
$10 = -2a$
$a = \frac{10}{-2} = -5$.
Теперь проверим выполнение неравенства при $a = -5$. Подставим $a = -5$ в $\frac{-2a}{5} \neq \frac{2}{-1}$:
$\frac{-2(-5)}{5} \neq \frac{2}{-1}$
$\frac{10}{5} \neq -2$
$2 \neq -2$
Неравенство истинно, значит, условие выполняется.
Ответ: $a=-5$.