Номер 730, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.7. О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 730, страница 206.

Условие.

730. Существует ли значение $a$, при котором система:

a) $ \begin{cases} x - ay - 3a = 0, \\ 2x + y + 3 = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 14x - ay - 2a = 0, \\ 2x + 3y - 2 = 0 \end{cases} $

имеет бесконечно много решений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет бесконечно много решений в том и только в том случае, если коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены пропорциональны. То есть, для системы вида:

$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $

должно выполняться условие:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

Приведем данную систему к стандартному виду:

$ \begin{cases} x - ay - 3a = 0 \\ 2x + y + 3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 1x - ay = 3a \\ 2x + 1y = -3 \end{cases} $

Коэффициенты уравнений: $A_1 = 1$, $B_1 = -a$, $C_1 = 3a$ и $A_2 = 2$, $B_2 = 1$, $C_2 = -3$.

Составим пропорцию согласно условию:

$\frac{1}{2} = \frac{-a}{1} = \frac{3a}{-3}$

Рассмотрим равенство по частям, чтобы найти значение $a$:

Из первой части равенства $\frac{1}{2} = \frac{-a}{1}$, получаем $1 = -2a$, откуда $a = -0.5$.

Из второй части равенства $\frac{-a}{1} = \frac{3a}{-3}$, получаем $-a = -a$, что является тождеством, верным для любого $a$.

Также можно приравнять первую и третью части: $\frac{1}{2} = \frac{3a}{-3}$, что упрощается до $\frac{1}{2} = -a$, откуда $a = -0.5$.

Поскольку мы получили одно и то же значение $a = -0.5$ из разных частей пропорции, такое значение существует.

Ответ: Да, существует. При $a = -0.5$ система имеет бесконечно много решений.

б)

Аналогично пункту а), используем условие пропорциональности коэффициентов для системы, чтобы она имела бесконечное множество решений.

Приведем данную систему к стандартному виду:

$ \begin{cases} 14x - ay - 2a = 0 \\ 2x + 3y - 2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 14x - ay = 2a \\ 2x + 3y = 2 \end{cases} $

Коэффициенты уравнений: $A_1 = 14$, $B_1 = -a$, $C_1 = 2a$ и $A_2 = 2$, $B_2 = 3$, $C_2 = 2$.

Составим пропорцию:

$\frac{14}{2} = \frac{-a}{3} = \frac{2a}{2}$

Упростим известные отношения:

$7 = \frac{-a}{3} = a$

Теперь рассмотрим получившуюся систему равенств для $a$:

1) $7 = \frac{-a}{3} \implies 21 = -a \implies a = -21$.

2) $7 = a$.

Мы получили два разных требуемых значения для параметра $a$: $a = -21$ и $a = 7$. Поскольку $a$ не может одновременно принимать два различных значения, не существует такого значения $a$, при котором все части пропорции были бы равны.

Ответ: Нет, такого значения $a$ не существует.