Номер 723, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 723, страница 202.

Условие.

Решите систему уравнений (723—725):

723. a) $\begin{cases} x - y = 5, \\ -4x + 4y = 20; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + 3y + 4 = 0, \\ 5x + 6y = 7; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x - 2y = 11, \\ 4x - 5y = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5x + 6y = 13, \\ 7x + 18y + 1 = 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 7x + 6y = 1,5, \\ 4x - 9y - 5 = 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 3x + 4y = 3,5, \\ -3x - 4y = 40. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 5, \\ -4x + 4y = 20; \end{cases} $$

Для решения системы используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 4: $$4(x - y) = 4 \cdot 5$$ $$4x - 4y = 20$$

Теперь система выглядит так: $$ \begin{cases} 4x - 4y = 20, \\ -4x + 4y = 20; \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы: $$(4x - 4y) + (-4x + 4y) = 20 + 20$$ $$0 = 40$$

Получено неверное числовое равенство. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 3y + 4 = 0, \\ 5x + 6y = 7; \end{cases} $$ Приведем первое уравнение к стандартному виду $2x + 3y = -4$. Система примет вид: $$ \begin{cases} 2x + 3y = -4, \\ 5x + 6y = 7; \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными: $$-2(2x + 3y) = -2(-4)$$ $$-4x - 6y = 8$$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы: $$(-4x - 6y) + (5x + 6y) = 8 + 7$$ $$x = 15$$

Подставим найденное значение $x = 15$ в уравнение $2x + 3y = -4$: $$2(15) + 3y = -4$$ $$30 + 3y = -4$$ $$3y = -4 - 30$$ $$3y = -34$$ $$y = -\frac{34}{3}$$

Ответ: $(15; -\frac{34}{3})$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 2y = 11, \\ 4x - 5y = 3; \end{cases} $$

Для решения системы используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными: $$ \begin{cases} 5(3x - 2y) = 5 \cdot 11, \\ -2(4x - 5y) = -2 \cdot 3; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 15x - 10y = 55, \\ -8x + 10y = -6; \end{cases} $$

Теперь сложим два уравнения системы: $$(15x - 10y) + (-8x + 10y) = 55 + (-6)$$ $$7x = 49$$ $$x = \frac{49}{7} = 7$$

Подставим найденное значение $x=7$ в первое исходное уравнение $3x - 2y = 11$: $$3(7) - 2y = 11$$ $$21 - 2y = 11$$ $$-2y = 11 - 21$$ $$-2y = -10$$ $$y = \frac{-10}{-2} = 5$$

Ответ: $(7; 5)$.

г)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 5x + 6y = 13, \\ 7x + 18y + 1 = 0; \end{cases} $$ Приведем второе уравнение к стандартному виду $7x + 18y = -1$. Система примет вид: $$ \begin{cases} 5x + 6y = 13, \\ 7x + 18y = -1; \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -3: $$-3(5x + 6y) = -3 \cdot 13$$ $$-15x - 18y = -39$$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы: $$(-15x - 18y) + (7x + 18y) = -39 + (-1)$$ $$-8x = -40$$ $$x = \frac{-40}{-8} = 5$$

Подставим $x = 5$ в первое уравнение $5x + 6y = 13$: $$5(5) + 6y = 13$$ $$25 + 6y = 13$$ $$6y = 13 - 25$$ $$6y = -12$$ $$y = -2$$

Ответ: $(5; -2)$.

д)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 7x + 6y = 1,5, \\ 4x - 9y - 5 = 0; \end{cases} $$ Приведем второе уравнение к стандартному виду $4x - 9y = 5$. Система примет вид: $$ \begin{cases} 7x + 6y = 1,5, \\ 4x - 9y = 5; \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы избавиться от $y$: $$ \begin{cases} 3(7x + 6y) = 3 \cdot 1,5, \\ 2(4x - 9y) = 2 \cdot 5; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 21x + 18y = 4,5, \\ 8x - 18y = 10; \end{cases} $$

Сложим два уравнения полученной системы: $$(21x + 18y) + (8x - 18y) = 4,5 + 10$$ $$29x = 14,5$$ $$x = \frac{14,5}{29} = 0,5$$

Подставим $x = 0,5$ в первое уравнение $7x + 6y = 1,5$: $$7(0,5) + 6y = 1,5$$ $$3,5 + 6y = 1,5$$ $$6y = 1,5 - 3,5$$ $$6y = -2$$ $$y = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Ответ: $(0,5; -\frac{1}{3})$.

е)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x + 4y = 3,5, \\ -3x - 4y = 40. \end{cases} $$

Воспользуемся методом сложения и сложим два уравнения системы, так как коэффициенты при $x$ и $y$ являются противоположными числами: $$(3x + 4y) + (-3x - 4y) = 3,5 + 40$$ $$0 = 43,5$$

Получено неверное числовое равенство. Это означает, что данная система уравнений не имеет решений.

Ответ: нет решений.