Номер 722, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 722, страница 202.

Условие.

722. Составьте систему двух линейных уравнений, такую, чтобы одно из уравнений было $3x - 4y = 2$ и она:

а) была противоречива;

б) имела бесконечно много решений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

Одно из уравнений нам дано: $3x - 4y = 2$. Здесь $a_1=3$, $b_1=-4$, $c_1=2$. Нам нужно составить второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$, удовлетворяющее заданным условиям.

а) была противоречива

Система линейных уравнений не имеет решений (является противоречивой или несовместной), если графики уравнений — это параллельные прямые, которые не совпадают. Алгебраически это означает, что коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены не удовлетворяют этой пропорции. Условие выглядит так:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$

Для нашего уравнения $3x - 4y = 2$ мы должны подобрать коэффициенты $a_2, b_2, c_2$ для второго уравнения. Чтобы коэффициенты при $x$ и $y$ были пропорциональны, мы можем умножить левую часть первого уравнения на любое число, отличное от нуля. Например, умножим на 2:

$2 \cdot (3x - 4y) = 6x - 8y$.

Таким образом, мы можем взять $a_2 = 6$ и $b_2 = -8$. Проверим пропорцию: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$. Равенство $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ выполняется.

Теперь нам нужно, чтобы отношение свободных членов не было равно этому значению:

$\frac{c_1}{c_2} \ne \frac{1}{2}$

Подставляя $c_1=2$, получаем: $\frac{2}{c_2} \ne \frac{1}{2}$, что означает $c_2 \ne 4$.

Мы можем выбрать любое значение для $c_2$, кроме 4. Например, пусть $c_2 = 5$.
Тогда второе уравнение будет $6x - 8y = 5$.
Искомая система:

$ \begin{cases} 3x - 4y = 2 \\ 6x - 8y = 5 \end{cases} $

Ответ: Например, такая система:
$ \begin{cases} 3x - 4y = 2 \\ 6x - 8y = 5 \end{cases} $

б) имела бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если графики уравнений — это одна и та же прямая (совпадают). Алгебраически это означает, что и коэффициенты при переменных, и свободные члены пропорциональны. Условие выглядит так:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Для нашего уравнения $3x - 4y = 2$ мы должны подобрать второе уравнение так, чтобы оно было эквивалентно первому. Этого можно достичь, умножив обе части первого уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. Например, умножим на 3:

$3 \cdot (3x - 4y = 2)$

$9x - 12y = 6$

Таким образом, мы можем взять $a_2 = 9$, $b_2 = -12$ и $c_2 = 6$. Проверим пропорцию:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Все отношения равны. Условие выполняется. Искомая система:

$ \begin{cases} 3x - 4y = 2 \\ 9x - 12y = 6 \end{cases} $

Ответ: Например, такая система:
$ \begin{cases} 3x - 4y = 2 \\ 9x - 12y = 6 \end{cases} $