Номер 728, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.7. О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 728, страница 206.

Условие.

728. Существует ли значение $a$, при котором система:

а) $$\begin{cases} 6x + ay - 2a = 0, \\ 3x - 2y + 4 = 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 5x + ay - a = 0, \\ 15x - 6y + 8 = 0 \end{cases}$$

не имеет решений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} 6x + ay - 2a = 0 \\ 3x - 2y + 4 = 0 \end{cases} $Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases} $ не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны и не совпадают. Это происходит при выполнении условия пропорциональности коэффициентов:$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $Для данной системы имеем коэффициенты: $A_1 = 6$, $B_1 = a$, $C_1 = -2a$ и $A_2 = 3$, $B_2 = -2$, $C_2 = 4$.Подставим эти значения в условие:$ \frac{6}{3} = \frac{a}{-2} \neq \frac{-2a}{4} $Из равенства $ \frac{6}{3} = \frac{a}{-2} $ находим значение $a$:$ 2 = \frac{a}{-2} $$ a = -4 $Теперь необходимо проверить, выполняется ли неравенство $ \frac{a}{-2} \neq \frac{-2a}{4} $ при $a = -4$.Подставляем $a = -4$:$ \frac{-4}{-2} \neq \frac{-2(-4)}{4} $$ 2 \neq \frac{8}{4} $$ 2 \neq 2 $Это неравенство ложно, так как $2=2$. Следовательно, при $a=-4$ все три отношения равны: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают). При любом другом значении $a$ (т.е. при $a \neq -4$), первое равенство $ \frac{6}{3} = \frac{a}{-2} $ не выполняется, и система имеет единственное решение (прямые пересекаются). Таким образом, не существует значения $a$, при котором система не имела бы решений.
Ответ: нет, такого значения не существует.

б) Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} 5x + ay - a = 0 \\ 15x - 6y + 8 = 0 \end{cases} $Используем то же самое условие отсутствия решений для системы линейных уравнений:$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $Коэффициенты для этой системы: $A_1 = 5$, $B_1 = a$, $C_1 = -a$ и $A_2 = 15$, $B_2 = -6$, $C_2 = 8$.Подставляем в условие:$ \frac{5}{15} = \frac{a}{-6} \neq \frac{-a}{8} $Из равенства $ \frac{5}{15} = \frac{a}{-6} $ находим $a$:$ \frac{1}{3} = \frac{a}{-6} $$ a = \frac{1}{3} \times (-6) $$ a = -2 $Теперь проверим, выполняется ли неравенство $ \frac{a}{-6} \neq \frac{-a}{8} $ при $a = -2$.Подставляем $a = -2$:$ \frac{-2}{-6} \neq \frac{-(-2)}{8} $$ \frac{1}{3} \neq \frac{2}{8} $$ \frac{1}{3} \neq \frac{1}{4} $Это неравенство истинно. Значит, при $a = -2$ условие отсутствия решений выполняется, так как $ \frac{5}{15} = \frac{-2}{-6} \neq \frac{-(-2)}{8} $.
Ответ: да, существует, при $a = -2$.