Номер 732, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.8. Системы уравнений первой степени с тремя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 732, страница 208.

Условие.

732. а) Какое уравнение называют уравнением первой степени с тремя неизвестными?

б) Что называют решением уравнения первой степени с тремя неизвестными?

в) Что называют решением системы трёх уравнений с тремя неизвестными?

г) Что значит решить систему уравнений?

д) В чём заключается способ подстановки для решения системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Какое уравнение называют уравнением первой степени с тремя неизвестными?

Уравнением первой степени с тремя неизвестными (или линейным уравнением с тремя переменными) называют уравнение вида $ax + by + cz = d$.

В этом уравнении:

• $x, y, z$ – это переменные (неизвестные).
• $a, b, c$ – это коэффициенты при переменных (некоторые числа).
• $d$ – это свободный член (некоторое число).

Основное условие заключается в том, что хотя бы один из коэффициентов $a, b$ или $c$ не должен быть равен нулю. Название «уравнение первой степени» означает, что все переменные входят в уравнение в первой степени (т.е. нет $x^2$, $y^3$ и т.д.).

Ответ: Уравнением первой степени с тремя неизвестными называют уравнение вида $ax + by + cz = d$, где $x, y, z$ – переменные, а $a, b, c, d$ – некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел $a, b, c$ не равно нулю.

б) Что называют решением уравнения первой степени с тремя неизвестными?

Решением уравнения первой степени с тремя неизвестными называют упорядоченную тройку чисел $(x_0; y_0; z_0)$, при подстановке которой вместо переменных $x, y, z$ уравнение обращается в верное числовое равенство.

Например, для уравнения $2x + y - z = 5$ тройка чисел $(3; 1; 2)$ является решением, так как $2 \cdot 3 + 1 - 2 = 6 + 1 - 2 = 5$, что соответствует правой части уравнения.

Ответ: Решением уравнения первой степени с тремя неизвестными является всякая тройка чисел $(x; y; z)$, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

в) Что называют решением системы трёх уравнений с тремя неизвестными?

Решением системы трёх уравнений с тремя неизвестными называют упорядоченную тройку чисел $(x_0; y_0; z_0)$, которая является решением каждого из трёх уравнений системы одновременно.

Иными словами, при подстановке этой тройки чисел во все три уравнения системы, каждое из них должно превратиться в верное числовое равенство.

Ответ: Решением системы трёх уравнений с тремя неизвестными называют тройку значений переменных $(x; y; z)$, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

г) Что значит решить систему уравнений?

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений не существует.

Возможны три случая:

1. Система имеет единственное решение (одну тройку чисел).
2. Система имеет бесконечное множество решений.
3. Система не имеет решений (является несовместной).

Таким образом, процесс решения включает в себя нахождение всех возможных упорядоченных наборов чисел, удовлетворяющих всем уравнениям, или установление факта их отсутствия.

Ответ: Решить систему уравнений — значит найти множество всех её решений или доказать, что она не имеет решений.

д) В чём заключается способ подстановки для решения системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными?

Способ подстановки для решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными заключается в последовательном исключении переменных. Алгоритм метода следующий:

1. Выразить одну переменную. Из любого уравнения системы выражают одну переменную через две другие. Например, из первого уравнения выражают $x$ через $y$ и $z$. Проще всего это сделать, если коэффициент при какой-либо переменной равен $1$ или $-1$.
2. Подставить выражение. Полученное выражение подставляют в два других уравнения системы. В результате этой подстановки получают новую систему, состоящую уже из двух уравнений с двумя неизвестными (например, $y$ и $z$).
3. Решить новую систему. Решают полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными любым удобным способом (например, тем же способом подстановки или способом сложения). В результате находят значения этих двух переменных.
4. Найти значение третьей переменной. Найденные значения двух переменных подставляют в выражение, полученное на первом шаге, и вычисляют значение оставшейся, третьей переменной.
5. Записать ответ. Записывают ответ в виде упорядоченной тройки чисел $(x; y; z)$. Рекомендуется выполнить проверку, подставив найденные значения во все три исходных уравнения.

Ответ: Способ подстановки заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другие, подставить это выражение в остальные уравнения, получив систему с меньшим числом уравнений и переменных, решить её, а затем найти оставшуюся переменную.