Номер 729, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.7. О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 729, страница 206.

Условие.

729. При каком значении $a$ система:

a)$\begin{cases} -2x + ay + 6a = 0, \\ x - y - 6 = 0; \end{cases}$б)$\begin{cases} 3x + ay + a = 0, \\ -x - 2y - 2 = 0 \end{cases}$

имеет бесконечно много решений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены пропорциональны. Для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases} $ это условие записывается в виде пропорции: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $.

а) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} -2x + ay + 6a = 0 \\ x - y - 6 = 0 \end{cases} $
Коэффициенты для данной системы:
$ A_1 = -2, B_1 = a, C_1 = 6a $
$ A_2 = 1, B_2 = -1, C_2 = -6 $
Составим пропорцию, чтобы система имела бесконечно много решений:
$ \frac{-2}{1} = \frac{a}{-1} = \frac{6a}{-6} $
Упростим каждое из отношений:
$ -2 = -a = -a $
Из этого равенства получаем уравнение $ -2 = -a $, решением которого является:
$ a = 2 $
При этом значении $a$ все три отношения равны -2, значит, условие выполняется.
Ответ: $a=2$.

б) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} 3x + ay + a = 0 \\ -x - 2y - 2 = 0 \end{cases} $
Коэффициенты для данной системы:
$ A_1 = 3, B_1 = a, C_1 = a $
$ A_2 = -1, B_2 = -2, C_2 = -2 $
Составим пропорцию:
$ \frac{3}{-1} = \frac{a}{-2} = \frac{a}{-2} $
Из этой пропорции получаем равенство:
$ -3 = \frac{a}{-2} $
Решим полученное уравнение относительно $a$:
$ a = -3 \cdot (-2) $
$ a = 6 $
При этом значении $a$ все три отношения равны -3, значит, условие выполняется.
Ответ: $a=6$.