Страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Исследуем (727–731).

727. При каком значении a система:

а) $\begin{cases}5x + ay + 6 = 0, \\x + 2y - 5 = 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}4x - 2ay + 2 = 0, \\2x + 5y - 1 = 0\end{cases}$

не имеет решений?

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases}$ не имеет решений тогда и только тогда, когда ее уравнения описывают параллельные и несовпадающие прямые. В терминах коэффициентов это условие записывается как пропорциональность коэффициентов при переменных и нарушение этой пропорции для свободных членов:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

а)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 5x + ay + 6 = 0 \\ x + 2y - 5 = 0 \end{cases}$
Здесь коэффициенты равны: $A_1 = 5$, $B_1 = a$, $C_1 = 6$ и $A_2 = 1$, $B_2 = 2$, $C_2 = -5$.
Подставим эти значения в условие отсутствия решений:
$\frac{5}{1} = \frac{a}{2} \neq \frac{6}{-5}$
Сначала решим уравнение $\frac{5}{1} = \frac{a}{2}$:
$a = 5 \cdot 2 = 10$.
Теперь необходимо проверить, что при найденном значении $a$ выполняется неравенство. Подставим $a = 10$ в $\frac{a}{2} \neq \frac{6}{-5}$:
$\frac{10}{2} \neq \frac{6}{-5}$
$5 \neq -1.2$
Неравенство истинно, значит, условие выполняется.
Ответ: $a=10$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 4x - 2ay + 2 = 0 \\ 2x + 5y - 1 = 0 \end{cases}$
Здесь коэффициенты равны: $A_1 = 4$, $B_1 = -2a$, $C_1 = 2$ и $A_2 = 2$, $B_2 = 5$, $C_2 = -1$.
Подставим эти значения в условие отсутствия решений:
$\frac{4}{2} = \frac{-2a}{5} \neq \frac{2}{-1}$
Сначала решим уравнение $\frac{4}{2} = \frac{-2a}{5}$:
$2 = \frac{-2a}{5}$
$10 = -2a$
$a = \frac{10}{-2} = -5$.
Теперь проверим выполнение неравенства при $a = -5$. Подставим $a = -5$ в $\frac{-2a}{5} \neq \frac{2}{-1}$:
$\frac{-2(-5)}{5} \neq \frac{2}{-1}$
$\frac{10}{5} \neq -2$
$2 \neq -2$
Неравенство истинно, значит, условие выполняется.
Ответ: $a=-5$.

728. Существует ли значение $a$, при котором система:

а) $$\begin{cases} 6x + ay - 2a = 0, \\ 3x - 2y + 4 = 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 5x + ay - a = 0, \\ 15x - 6y + 8 = 0 \end{cases}$$

не имеет решений?

а) Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} 6x + ay - 2a = 0 \\ 3x - 2y + 4 = 0 \end{cases} $Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases} $ не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны и не совпадают. Это происходит при выполнении условия пропорциональности коэффициентов:$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $Для данной системы имеем коэффициенты: $A_1 = 6$, $B_1 = a$, $C_1 = -2a$ и $A_2 = 3$, $B_2 = -2$, $C_2 = 4$.Подставим эти значения в условие:$ \frac{6}{3} = \frac{a}{-2} \neq \frac{-2a}{4} $Из равенства $ \frac{6}{3} = \frac{a}{-2} $ находим значение $a$:$ 2 = \frac{a}{-2} $$ a = -4 $Теперь необходимо проверить, выполняется ли неравенство $ \frac{a}{-2} \neq \frac{-2a}{4} $ при $a = -4$.Подставляем $a = -4$:$ \frac{-4}{-2} \neq \frac{-2(-4)}{4} $$ 2 \neq \frac{8}{4} $$ 2 \neq 2 $Это неравенство ложно, так как $2=2$. Следовательно, при $a=-4$ все три отношения равны: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают). При любом другом значении $a$ (т.е. при $a \neq -4$), первое равенство $ \frac{6}{3} = \frac{a}{-2} $ не выполняется, и система имеет единственное решение (прямые пересекаются). Таким образом, не существует значения $a$, при котором система не имела бы решений.
Ответ: нет, такого значения не существует.

б) Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} 5x + ay - a = 0 \\ 15x - 6y + 8 = 0 \end{cases} $Используем то же самое условие отсутствия решений для системы линейных уравнений:$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $Коэффициенты для этой системы: $A_1 = 5$, $B_1 = a$, $C_1 = -a$ и $A_2 = 15$, $B_2 = -6$, $C_2 = 8$.Подставляем в условие:$ \frac{5}{15} = \frac{a}{-6} \neq \frac{-a}{8} $Из равенства $ \frac{5}{15} = \frac{a}{-6} $ находим $a$:$ \frac{1}{3} = \frac{a}{-6} $$ a = \frac{1}{3} \times (-6) $$ a = -2 $Теперь проверим, выполняется ли неравенство $ \frac{a}{-6} \neq \frac{-a}{8} $ при $a = -2$.Подставляем $a = -2$:$ \frac{-2}{-6} \neq \frac{-(-2)}{8} $$ \frac{1}{3} \neq \frac{2}{8} $$ \frac{1}{3} \neq \frac{1}{4} $Это неравенство истинно. Значит, при $a = -2$ условие отсутствия решений выполняется, так как $ \frac{5}{15} = \frac{-2}{-6} \neq \frac{-(-2)}{8} $.
Ответ: да, существует, при $a = -2$.

729. При каком значении $a$ система:

имеет бесконечно много решений?

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены пропорциональны. Для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases} $ это условие записывается в виде пропорции: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $.

а) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} -2x + ay + 6a = 0 \\ x - y - 6 = 0 \end{cases} $
Коэффициенты для данной системы:
$ A_1 = -2, B_1 = a, C_1 = 6a $
$ A_2 = 1, B_2 = -1, C_2 = -6 $
Составим пропорцию, чтобы система имела бесконечно много решений:
$ \frac{-2}{1} = \frac{a}{-1} = \frac{6a}{-6} $
Упростим каждое из отношений:
$ -2 = -a = -a $
Из этого равенства получаем уравнение $ -2 = -a $, решением которого является:
$ a = 2 $
При этом значении $a$ все три отношения равны -2, значит, условие выполняется.
Ответ: $a=2$.

б) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} 3x + ay + a = 0 \\ -x - 2y - 2 = 0 \end{cases} $
Коэффициенты для данной системы:
$ A_1 = 3, B_1 = a, C_1 = a $
$ A_2 = -1, B_2 = -2, C_2 = -2 $
Составим пропорцию:
$ \frac{3}{-1} = \frac{a}{-2} = \frac{a}{-2} $
Из этой пропорции получаем равенство:
$ -3 = \frac{a}{-2} $
Решим полученное уравнение относительно $a$:
$ a = -3 \cdot (-2) $
$ a = 6 $
При этом значении $a$ все три отношения равны -3, значит, условие выполняется.
Ответ: $a=6$.

730. Существует ли значение $a$, при котором система:

a) $ \begin{cases} x - ay - 3a = 0, \\ 2x + y + 3 = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 14x - ay - 2a = 0, \\ 2x + 3y - 2 = 0 \end{cases} $

имеет бесконечно много решений?

а)

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет бесконечно много решений в том и только в том случае, если коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены пропорциональны. То есть, для системы вида:

$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $

должно выполняться условие:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

Приведем данную систему к стандартному виду:

$ \begin{cases} x - ay - 3a = 0 \\ 2x + y + 3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 1x - ay = 3a \\ 2x + 1y = -3 \end{cases} $

Коэффициенты уравнений: $A_1 = 1$, $B_1 = -a$, $C_1 = 3a$ и $A_2 = 2$, $B_2 = 1$, $C_2 = -3$.

Составим пропорцию согласно условию:

$\frac{1}{2} = \frac{-a}{1} = \frac{3a}{-3}$

Рассмотрим равенство по частям, чтобы найти значение $a$:

Из первой части равенства $\frac{1}{2} = \frac{-a}{1}$, получаем $1 = -2a$, откуда $a = -0.5$.

Из второй части равенства $\frac{-a}{1} = \frac{3a}{-3}$, получаем $-a = -a$, что является тождеством, верным для любого $a$.

Также можно приравнять первую и третью части: $\frac{1}{2} = \frac{3a}{-3}$, что упрощается до $\frac{1}{2} = -a$, откуда $a = -0.5$.

Поскольку мы получили одно и то же значение $a = -0.5$ из разных частей пропорции, такое значение существует.

Ответ: Да, существует. При $a = -0.5$ система имеет бесконечно много решений.

б)

Аналогично пункту а), используем условие пропорциональности коэффициентов для системы, чтобы она имела бесконечное множество решений.

Приведем данную систему к стандартному виду:

$ \begin{cases} 14x - ay - 2a = 0 \\ 2x + 3y - 2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 14x - ay = 2a \\ 2x + 3y = 2 \end{cases} $

Коэффициенты уравнений: $A_1 = 14$, $B_1 = -a$, $C_1 = 2a$ и $A_2 = 2$, $B_2 = 3$, $C_2 = 2$.

Составим пропорцию:

$\frac{14}{2} = \frac{-a}{3} = \frac{2a}{2}$

Упростим известные отношения:

$7 = \frac{-a}{3} = a$

Теперь рассмотрим получившуюся систему равенств для $a$:

1) $7 = \frac{-a}{3} \implies 21 = -a \implies a = -21$.

2) $7 = a$.

Мы получили два разных требуемых значения для параметра $a$: $a = -21$ и $a = 7$. Поскольку $a$ не может одновременно принимать два различных значения, не существует такого значения $a$, при котором все части пропорции были бы равны.

Ответ: Нет, такого значения $a$ не существует.

731. При каких значениях $a$ система:

a) $\begin{cases} 3ax + y - a = 0, \\ 45x - y - 2 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 21x - ay + 6a = 0, \\ 3x + 3y + 2 = 0 \end{cases}$

имеет единственное решение?

а)

Ра