Страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

708. При каком условии система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, у которой пропорциональны коэффициенты при неизвестных:

а) не имеет решений;

б) имеет бесконечно много решений?

Можно ли решать такие системы способом подстановки?

Рассмотрим общую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$: $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ По условию задачи, коэффициенты при неизвестных пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k \neq 0$, что: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = k $$ Отсюда следует, что $a_1 = k \cdot a_2$ и $b_1 = k \cdot b_2$. Подставим эти выражения в первое уравнение системы: $$ (k \cdot a_2)x + (k \cdot b_2)y = c_1 $$ Вынесем общий множитель $k$ за скобки: $$ k(a_2x + b_2y) = c_1 $$ Второе уравнение системы остается без изменений: $a_2x + b_2y = c_2$. Теперь мы можем подставить выражение $a_2x + b_2y$ из второго уравнения в преобразованное первое: $$ k \cdot c_2 = c_1 $$ Это соотношение между коэффициентами системы определяет, сколько решений она имеет.

а) не имеет решений;

Система уравнений не имеет решений, если она противоречива. В нашем случае это происходит, когда левая и правая части уравнений, после преобразований, приводят к неверному равенству. Из второго уравнения мы знаем, что $a_2x + b_2y = c_2$. Из первого уравнения, поделенного на $k$ (при $k \neq 0$), мы получаем $a_2x + b_2y = \frac{c_1}{k}$. Чтобы система не имела решений, значения выражений $a_2x + b_2y$ должны быть разными, то есть: $$ c_2 \neq \frac{c_1}{k} $$ Умножив на $k$, получим $k \cdot c_2 \neq c_1$. Подставив обратно значение $k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, мы получаем условие: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $$ Это означает, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но они не пропорциональны свободным членам. Геометрически это соответствует двум параллельным прямым, которые никогда не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений, если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены не пропорциональны им, то есть $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $.

б) имеет бесконечно много решений?

Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения являются эквивалентными (одно получается из другого умножением на число). Это происходит, когда соотношение $k \cdot c_2 = c_1$ выполняется. Если $k \cdot c_2 = c_1$, то, разделив обе части на $k$, получим $c_2 = \frac{c_1}{k}$. В этом случае оба уравнения системы ($a_2x + b_2y = c_2$ и $a_2x + b_2y = \frac{c_1}{k}$) становятся идентичными. Мы имеем одно уравнение с двумя неизвестными, которое имеет бесконечное множество решений. Условие $k \cdot c_2 = c_1$ можно переписать как $\frac{c_1}{c_2} = k$ (при $c_2 \neq 0$). Таким образом, все три отношения равны: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$ Это означает, что не только коэффициенты при неизвестных, но и свободные члены пропорциональны. Геометрически это соответствует двум совпадающим прямым.

Ответ: Система имеет бесконечно много решений, если коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны, то есть $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.

Можно ли решать такие системы способом подстановки?

Да, можно. Способ подстановки позволяет определить, имеет ли система решения и сколько их. Продемонстрируем это. Из первого уравнения $a_1x + b_1y = c_1$ выразим $x$ (предполагая, что $a_1 \neq 0$): $$ x = \frac{c_1 - b_1y}{a_1} $$ Подставим это выражение во второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$: $$ a_2 \left( \frac{c_1 - b_1y}{a_1} \right) + b_2y = c_2 $$ Умножим обе части на $a_1$: $$ a_2(c_1 - b_1y) + a_1b_2y = a_1c_2 $$ $$ a_2c_1 - a_2b_1y + a_1b_2y = a_1c_2 $$ Сгруппируем члены с $y$: $$ (a_1b_2 - a_2b_1)y = a_1c_2 - a_2c_1 $$ Поскольку по условию коэффициенты при неизвестных пропорциональны, то $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, откуда следует, что $a_1b_2 = a_2b_1$, и, соответственно, $a_1b_2 - a_2b_1 = 0$. Тогда уравнение принимает вид: $$ 0 \cdot y = a_1c_2 - a_2c_1 $$ Применение способа подстановки привело к тому, что переменная $y$ исчезла. Дальнейший анализ зависит от правой части уравнения:
1. Если $a_1c_2 - a_2c_1 \neq 0$ (что эквивалентно $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$), мы получаем неверное равенство, где $0$ равен ненулевому числу. Это означает, что система несовместна и не имеет решений.
2. Если $a_1c_2 - a_2c_1 = 0$ (что эквивалентно $\frac{a_1}{a_2} = \frac{c_1}{c_2}$), мы получаем верное тождество $0 = 0$. Это означает, что система имеет бесконечно много решений.
Таким образом, метод подстановки позволяет сделать однозначный вывод о количестве решений системы.

Ответ: Да, можно. Этот метод приводит к уравнению вида $0 = C$, где $C$ — некоторое число (выражение из коэффициентов). Если $C \neq 0$, система не имеет решений. Если $C=0$, система имеет бесконечно много решений.

709. Равносильны ли уравнения:

а) $2x - 2y = x$ и $x - y = 0$;

б) $3x - 5y = 0$ и $3x = 5y$;

в) $3x - 6 + 2y = 0$ и $2 - x - 2y = 0$;

г) $x + y - 5 = 0$ и $x = 5 - y$?

а) Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Рассмотрим уравнения $2x - 2y = x$ и $x - y = 0$.
Упростим первое уравнение, перенеся $x$ из правой части в левую:
$2x - x - 2y = 0$
$x - 2y = 0$
Теперь у нас есть два уравнения: $x - 2y = 0$ и $x - y = 0$.
Из первого уравнения следует, что $x = 2y$, а из второго — что $x = y$.
Эти уравнения имеют разные множества решений. Например, пара чисел $(x=2, y=1)$ является решением первого уравнения ($2 - 2 \cdot 1 = 0$), но не является решением второго ($2 - 1 \neq 0$). Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

б) Рассмотрим уравнения $3x - 5y = 0$ и $3x = 5y$.
Преобразуем первое уравнение. Перенесем слагаемое $-5y$ из левой части в правую, изменив знак:
$3x = 5y$
Полученное уравнение в точности совпадает со вторым уравнением. Так как одно уравнение получено из другого с помощью равносильного преобразования (перенос слагаемого), то исходные уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

в) Рассмотрим уравнения $3x - 6 + 2y = 0$ и $2 - x - 2y = 0$.
Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.
Для первого уравнения: $3x + 2y = 6$.
Для второго уравнения: $-x - 2y = -2$. Умножим обе части на $-1$ (это равносильное преобразование): $x + 2y = 2$.
Сравним преобразованные уравнения: $3x + 2y = 6$ и $x + 2y = 2$.
Это уравнения двух разных прямых, так как у них разные коэффициенты при $x$. Например, пара чисел $(x=0, y=1)$ является решением второго уравнения ($0 + 2 \cdot 1 = 2$), но не является решением первого ($3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 \neq 6$). Поскольку множества решений не совпадают, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

г) Рассмотрим уравнения $x + y - 5 = 0$ и $x = 5 - y$.
Преобразуем первое уравнение, выразив $x$ через $y$. Для этого перенесем $y$ и $-5$ в правую часть уравнения, изменив их знаки:
$x = -y + 5$
$x = 5 - y$
Полученное уравнение полностью совпадает со вторым. Так как преобразования были равносильными, исходные уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

710. Доказываем. Докажите, что равносильны уравнения:

а) $2x - 3y + y = 4x - 2$ и $x + y = 1$;

б) $5(x + y) + 1 = x + 3$ и $4x + 5y - 2 = 0$.

а)

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Чтобы доказать равносильность, мы можем преобразовать одно из уравнений в другое с помощью тождественных (равносильных) преобразований. Рассмотрим первое уравнение $2x - 3y + y = 4x - 2$.

1. Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$2x - 2y = 4x - 2$

2. Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть, а свободные члены (числа) — в правую. Для этого вычтем $4x$ из обеих частей уравнения:

$2x - 4x - 2y = -2$

$-2x - 2y = -2$

3. Разделим обе части уравнения на $-2$. Это равносильное преобразование, так как мы делим на число, не равное нулю.

$\frac{-2x}{-2} + \frac{-2y}{-2} = \frac{-2}{-2}$

$x + y = 1$

В результате равносильных преобразований мы получили второе уравнение. Это доказывает, что исходные уравнения равносильны.

Ответ: Уравнения $2x - 3y + y = 4x - 2$ и $x + y = 1$ равносильны, что и требовалось доказать.

б)

Аналогично докажем равносильность уравнений $5(x + y) + 1 = x + 3$ и $4x + 5y - 2 = 0$. Преобразуем первое уравнение.

1. Раскроем скобки в левой части:

$5x + 5y + 1 = x + 3$

2. Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные, чтобы в правой части остался ноль:

$5x + 5y + 1 - x - 3 = 0$

3. Приведем подобные слагаемые:

$(5x - x) + 5y + (1 - 3) = 0$

$4x + 5y - 2 = 0$

В результате мы получили второе уравнение. Так как все преобразования были равносильными, исходные уравнения равносильны.

Ответ: Уравнения $5(x + y) + 1 = x + 3$ и $4x + 5y - 2 = 0$ равносильны, что и требовалось доказать.

711. Составьте уравнение, равносильное данному:

а) $4x - 2 + y = 0$;

б) $5x + 4y - 2 = 2x - 3y + 5$;

в) $3x + 6y - 9 = 0$;

г) $x - y - 1 = 0$.

а) Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые множества решений. Чтобы составить уравнение, равносильное данному, можно выполнить равносильное преобразование. В уравнении $4x - 2 + y = 0$ перенесём свободный член $-2$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный. Это действие является равносильным преобразованием.
Исходное уравнение: $4x - 2 + y = 0$.
Прибавим 2 к обеим частям уравнения:
$4x - 2 + y + 2 = 0 + 2$
$4x + y = 2$
Полученное уравнение $4x + y = 2$ имеет те же решения, что и исходное, следовательно, оно равносильно.

Ответ: $4x + y = 2$

б) Для того чтобы составить равносильное уравнение, упростим данное выражение $5x + 4y - 2 = 2x - 3y + 5$. Перенесём все члены, содержащие переменные, в левую часть уравнения, а свободные члены (числа) — в правую. При переносе члена из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный. Затем приведём подобные слагаемые.
$5x + 4y - 2 = 2x - 3y + 5$
$5x - 2x + 4y + 3y = 5 + 2$
$(5 - 2)x + (4 + 3)y = 7$
$3x + 7y = 7$
Это уравнение является равносильным исходному.

Ответ: $3x + 7y = 7$

в) Одним из равносильных преобразований является умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число. В уравнении $3x + 6y - 9 = 0$ все коэффициенты 3, 6 и свободный член -9 кратны 3. Разделим обе части уравнения на 3, чтобы его упростить и получить равносильное уравнение.
Исходное уравнение: $3x + 6y - 9 = 0$.
Делим обе части на 3:
$\frac{3x + 6y - 9}{3} = \frac{0}{3}$
$x + 2y - 3 = 0$
Полученное уравнение равносильно данному.

Ответ: $x + 2y - 3 = 0$

г) Уравнение $x - y - 1 = 0$ уже представлено в простом виде. Чтобы получить равносильное ему уравнение, можно выполнить любое равносильное преобразование. Например, умножим обе части уравнения на произвольное ненулевое число, скажем, на 2.
Исходное уравнение: $x - y - 1 = 0$.
Умножим обе части на 2:
$2 \cdot (x - y - 1) = 2 \cdot 0$
$2x - 2y - 2 = 0$
Другой простой способ — перенести свободный член в правую часть: $x - y = 1$. Любое из этих уравнений будет равносильно исходному.

Ответ: $2x - 2y - 2 = 0$

712. Равносильны ли уравнения с двумя неизвестными, если все решения каждого из них являются решениями другого?

Да, такие уравнения являются равносильными.

По определению, два уравнения с двумя неизвестными называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Иными словами, каждое решение первого уравнения должно быть решением второго, и наоборот, каждое решение второго уравнения должно быть решением первого.

Рассмотрим условие, данное в задаче: "все решения каждого из них являются решениями другого". Это условие можно разбить на две части:

1. Каждое решение первого уравнения является решением второго.
2. Каждое решение второго уравнения является решением первого.

Пусть $M_1$ — это множество всех решений (пар чисел $(x, y)$) первого уравнения, а $M_2$ — множество всех решений второго уравнения.

Тогда первая часть условия означает, что множество $M_1$ является подмножеством множества $M_2$, что записывается как $M_1 \subseteq M_2$.

Вторая часть условия означает, что множество $M_2$ является подмножеством множества $M_1$, что записывается как $M_2 \subseteq M_1$.

В теории множеств два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого. То есть, из условий $M_1 \subseteq M_2$ и $M_2 \subseteq M_1$ следует, что $M_1 = M_2$.

Таким образом, множества решений двух уравнений полностью совпадают. А это и есть определение равносильных уравнений. Следовательно, утверждение в вопросе верно.

Ответ: Да, такие уравнения равносильны, так как условие, приведённое в задаче, является определением равносильности уравнений.

713. Равносильны ли системы уравнений:

a) $$\begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x + y - 4 = 0 \end{cases}$$ и $$\begin{cases} x = y - 3 \\ 2(y - 3) + y - 4 = 0 \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 3x - y + 2 = 0 \\ -x + y - 3 = 0 \end{cases}$$ и $$\begin{cases} 3x - y + 2 = 0 \\ 2x - 1 = 0 \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 4x - 2y - 5 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases}$$ и $$\begin{cases} 4(2 - y) - 2y - 5 = 0 \\ x = 2 - y \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} x + y + 1 = 0 \\ 3x - 2y - 2 = 0 \end{cases}$$ и $$\begin{cases} y = 1 - x \\ 5x - 4 = 0 \end{cases}$$?

а)Рассмотрим системы:Первая: $\begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x + y - 4 = 0 \end{cases}$ и Вторая: $\begin{cases} x = y - 3 \\ 2(y - 3) + y - 4 = 0 \end{cases}$.

Вторая система получена из первой методом подстановки. Из первого уравнения первой системы выражена переменная $x$: $x-y+3=0 \implies x=y-3$. Это первое уравнение второй системы. Затем это выражение подставлено во второе уравнение первой системы: $2(y-3)+y-4=0$. Это второе уравнение второй системы. Метод подстановки является равносильным преобразованием, поэтому системы равносильны.

Для проверки найдем решения обеих систем.Решение первой системы: из $x - y + 3 = 0$ имеем $x = y - 3$. Подставим во второе уравнение: $2(y-3) + y - 4 = 0 \implies 2y - 6 + y - 4 = 0 \implies 3y = 10 \implies y = \frac{10}{3}$. Тогда $x = \frac{10}{3} - 3 = \frac{1}{3}$. Решение: $(\frac{1}{3}, \frac{10}{3})$.Решение второй системы: из второго уравнения $2y - 6 + y - 4 = 0 \implies 3y = 10 \implies y = \frac{10}{3}$. Из первого уравнения $x = y-3 = \frac{10}{3} - 3 = \frac{1}{3}$. Решение: $(\frac{1}{3}, \frac{10}{3})$.Решения систем совпадают.

Ответ: системы равносильны.

б)Рассмотрим системы:Первая: $\begin{cases} 3x - y + 2 = 0 \\ -x + y - 3 = 0 \end{cases}$ и Вторая: $\begin{cases} 3x - y + 2 = 0 \\ 2x - 1 = 0 \end{cases}$.

Вторая система получена из первой равносильным преобразованием. Первое уравнение сохранено. Второе уравнение второй системы ($2x-1=0$) является результатом сложения первого и второго уравнений первой системы: $(3x-y+2)+(-x+y-3) = 0 \implies 2x-1=0$. Замена уравнения в системе на сумму уравнений этой же системы является равносильным преобразованием. Следовательно, системы равносильны.

Для проверки найдем решения обеих систем.Решение первой системы: сложим уравнения: $2x-1=0 \implies x=\frac{1}{2}$. Подставим во второе уравнение: $-\frac{1}{2}+y-3=0 \implies y=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$. Решение: $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$.Решение второй системы: из второго уравнения $2x-1=0 \implies x=\frac{1}{2}$. Подставим в первое: $3(\frac{1}{2})-y+2=0 \implies \frac{3}{2}-y+2=0 \implies \frac{7}{2}-y=0 \implies y=\frac{7}{2}$. Решение: $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$.Решения систем совпадают.

Ответ: системы равносильны.

в)Рассмотрим системы:Первая: $\begin{cases} 4x - 2y - 5 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases}$ и Вторая: $\begin{cases} 4(2 - y) - 2y - 5 = 0 \\ x = 2 - y \end{cases}$.

Вторая система получена из первой методом подстановки. Из второго уравнения первой системы выражена переменная $x$: $x+y-2=0 \implies x=2-y$. Это второе уравнение второй системы. Затем это выражение подставлено в первое уравнение первой системы: $4(2-y)-2y-5=0$. Это первое уравнение второй системы. Метод подстановки является равносильным преобразованием, поэтому системы равносильны.

Для проверки найдем решения обеих систем.Решение первой системы: из $x+y-2=0$ имеем $x=2-y$. Подставим в первое уравнение: $4(2-y)-2y-5=0 \implies 8-4y-2y-5=0 \implies 3-6y=0 \implies 6y=3 \implies y=\frac{1}{2}$. Тогда $x=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Решение: $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$.Решение второй системы: из первого уравнения $8-4y-2y-5=0 \implies 3-6y=0 \implies y=\frac{1}{2}$. Из второго уравнения $x=2-y=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Решение: $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$.Решения систем совпадают.

Ответ: системы равносильны.

г)Рассмотрим системы:Первая: $\begin{cases} x + y + 1 = 0 \\ 3x - 2y - 2 = 0 \end{cases}$ и Вторая: $\begin{cases} y = 1 - x \\ 5x - 4 = 0 \end{cases}$.

Системы уравнений равносильны, если множества их решений совпадают. Найдем решения для каждой системы, чтобы сравнить их.

Решение первой системы: из первого уравнения $x+y+1=0$ выразим $y = -x-1$. Подставим во второе уравнение: $3x-2(-x-1)-2=0 \implies 3x+2x+2-2=0 \implies 5x=0 \implies x=0$. Тогда $y=-0-1=-1$. Решение первой системы: $(0, -1)$.

Решение второй системы: из второго уравнения $5x-4=0$ находим $x=\frac{4}{5}$. Подставим в первое уравнение: $y=1-x=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$. Решение второй системы: $(\frac{4}{5}, \frac{1}{5})$.

Поскольку решения систем различны ($(0, -1) \neq (\frac{4}{5}, \frac{1}{5})$), системы не являются равносильными.

Ответ: системы не равносильны.

714. Составьте две системы уравнений, равносильные данной:

а) $\begin{cases} 4x - 2y + 5 = 0, \\ 3x + y - 2 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x + y - 4 = 0, \\ -y = 5 - 2x. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x - 2y + 5 = 0, \\ 3x + y - 2 = 0. \end{cases} $

Первая равносильная система

Для получения первой равносильной системы преобразуем каждое уравнение, перенеся свободные члены (числа без переменных) в правую часть. Это является равносильным преобразованием, так как множество решений системы не меняется.

Первое уравнение: $4x - 2y + 5 = 0$ становится $4x - 2y = -5$.

Второе уравнение: $3x + y - 2 = 0$ становится $3x + y = 2$.

В результате получаем систему, равносильную исходной.

Ответ: $ \begin{cases} 4x - 2y = -5, \\ 3x + y = 2. \end{cases} $

Вторая равносильная система

Для получения второй системы используем метод подстановки. Выразим переменную $y$ из второго уравнения $3x + y - 2 = 0$:

$y = 2 - 3x$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение $4x - 2y + 5 = 0$:

$4x - 2(2 - 3x) + 5 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x - 4 + 6x + 5 = 0$

$10x + 1 = 0$

Новая система, состоящая из полученного уравнения ($10x + 1 = 0$) и выражения для $y$ ($y = 2 - 3x$), будет равносильна исходной.

Ответ: $ \begin{cases} 10x + 1 = 0, \\ y = 2 - 3x. \end{cases} $

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y - 4 = 0, \\ -y = 5 - 2x. \end{cases} $

Первая равносильная система

Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$, перенося члены уравнения. Это равносильное преобразование.

Первое уравнение $3x + y - 4 = 0$ преобразуется в $3x + y = 4$.

Второе уравнение $-y = 5 - 2x$ преобразуется в $2x - y = 5$.

Получаем следующую равносильную систему:

Ответ: $ \begin{cases} 3x + y = 4, \\ 2x - y = 5. \end{cases} $

Вторая равносильная система

Используем метод алгебраического сложения на системе, полученной в предыдущем шаге: $ \begin{cases} 3x + y = 4, \\ 2x - y = 5. \end{cases} $

Сложим левые и правые части уравнений почленно:

$(3x + y) + (2x - y) = 4 + 5$

$5x = 9$

Теперь заменим первое уравнение в системе $ \begin{cases} 3x + y = 4, \\ 2x - y = 5. \end{cases} $ на результат сложения. Второе уравнение оставим без изменений. Полученная система будет равносильна исходной.

Ответ: $ \begin{cases} 5x = 9, \\ 2x - y = 5. \end{cases} $

715. Исследуем. При каком $a$ равносильны системы уравнений: $\begin{cases} ax - y = 5, \\ x + y = 2 \end{cases}$ и $\begin{cases} x - 2 = -y, \\ 4x - 2y = 0? \end{cases}$

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одинаковые множества решений. Чтобы найти значение параметра $a$, при котором данные системы равносильны, необходимо сначала найти решение той системы, которая не содержит параметр, а затем подставить это решение в другую систему и найти искомое значение $a$.

Решим вторую систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 2 = -y, \\ 4x - 2y = 0 \end{cases} $

Преобразуем уравнения системы. Из первого уравнения следует, что $x + y = 2$. Второе уравнение, $4x - 2y = 0$, можно разделить на 2, получив $2x - y = 0$. Таким образом, система принимает вид:

$ \begin{cases} x + y = 2, \\ 2x - y = 0 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $y$:
$(x + y) + (2x - y) = 2 + 0$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение $2x - y = 0$:
$y = 2x = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Итак, решением второй системы является пара чисел $(\frac{2}{3}; \frac{4}{3})$.

Чтобы системы были равносильны, это же решение должно удовлетворять и первой системе:

$ \begin{cases} ax - y = 5, \\ x + y = 2 \end{cases} $

Подставим найденные значения $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{4}{3}$ в уравнения.
Проверим второе уравнение: $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Равенство $2=2$ верное.

Теперь подставим значения $x$ и $y$ в первое уравнение $ax - y = 5$, чтобы найти параметр $a$:
$a \cdot \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = 5$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$2a - 4 = 15$
$2a = 15 + 4$
$2a = 19$
$a = \frac{19}{2} = 9.5$

При $a = 9.5$ обе системы имеют одно и то же решение $(\frac{2}{3}; \frac{4}{3})$, следовательно, они равносильны.

Ответ: $a = 9.5$

716. Равносильны ли системы уравнений: $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases}$; $\begin{cases} 2x - y - 1 = 0 \\ 5x + y - 6 = 0 \end{cases}$; $\begin{cases} -3x + y + 2 = 0 \\ 5x - 2y - 3 = 0 \end{cases}$?

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Чтобы определить, равносильны ли данные системы, найдем решение каждой из них.

Рассмотрим первую систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = -1 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases} $

Воспользуемся методом сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны. Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x - 2y) + (3x + 2y) = -1 + 5$

В результате получаем $4x = 4$, откуда $x = 1$.

Теперь подставим найденное значение $x=1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$1 - 2y = -1$

$-2y = -1 - 1$

$-2y = -2$

$y = 1$

Таким образом, решение первой системы: $(1; 1)$.

Далее, рассмотрим вторую систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y - 1 = 0 \\ 5x + y - 6 = 0 \end{cases} $

Для удобства перепишем систему в стандартном виде:

$ \begin{cases} 2x - y = 1 \\ 5x + y = 6 \end{cases} $

Снова используем метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны:

$(2x - y) + (5x + y) = 1 + 6$

Получаем $7x = 7$, откуда $x = 1$.

Подставим значение $x=1$ в первое уравнение новой системы ($2x - y = 1$):

$2(1) - y = 1$

$2 - y = 1$

$-y = 1 - 2$

$-y = -1$

$y = 1$

Таким образом, решение второй системы: $(1; 1)$.

Наконец, решим третью систему уравнений:

$ \begin{cases} -3x + y + 2 = 0 \\ 5x - 2y - 3 = 0 \end{cases} $

Перепишем систему в стандартном виде:

$ \begin{cases} -3x + y = -2 \\ 5x - 2y = 3 \end{cases} $

В данном случае удобно использовать метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x - 2$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$5x - 2(3x - 2) = 3$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$5x - 6x + 4 = 3$

$-x + 4 = 3$

$-x = -1$

$x = 1$

Теперь найдем $y$, подставив $x=1$ в выражение для $y$:

$y = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1$

Таким образом, решение третьей системы: $(1; 1)$.

Поскольку все три системы имеют одно и то же единственное решение $(1; 1)$, они являются равносильными.

Ответ: Да, системы уравнений равносильны.