Номер 710, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 710, страница 199.

Условие.

710. Доказываем. Докажите, что равносильны уравнения:

а) $2x - 3y + y = 4x - 2$ и $x + y = 1$;

б) $5(x + y) + 1 = x + 3$ и $4x + 5y - 2 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Чтобы доказать равносильность, мы можем преобразовать одно из уравнений в другое с помощью тождественных (равносильных) преобразований. Рассмотрим первое уравнение $2x - 3y + y = 4x - 2$.

1. Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$2x - 2y = 4x - 2$

2. Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть, а свободные члены (числа) — в правую. Для этого вычтем $4x$ из обеих частей уравнения:

$2x - 4x - 2y = -2$

$-2x - 2y = -2$

3. Разделим обе части уравнения на $-2$. Это равносильное преобразование, так как мы делим на число, не равное нулю.

$\frac{-2x}{-2} + \frac{-2y}{-2} = \frac{-2}{-2}$

$x + y = 1$

В результате равносильных преобразований мы получили второе уравнение. Это доказывает, что исходные уравнения равносильны.

Ответ: Уравнения $2x - 3y + y = 4x - 2$ и $x + y = 1$ равносильны, что и требовалось доказать.

---

б)

Аналогично докажем равносильность уравнений $5(x + y) + 1 = x + 3$ и $4x + 5y - 2 = 0$. Преобразуем первое уравнение.

1. Раскроем скобки в левой части:

$5x + 5y + 1 = x + 3$

2. Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные, чтобы в правой части остался ноль:

$5x + 5y + 1 - x - 3 = 0$

3. Приведем подобные слагаемые:

$(5x - x) + 5y + (1 - 3) = 0$

$4x + 5y - 2 = 0$

В результате мы получили второе уравнение. Так как все преобразования были равносильными, исходные уравнения равносильны.

Ответ: Уравнения $5(x + y) + 1 = x + 3$ и $4x + 5y - 2 = 0$ равносильны, что и требовалось доказать.