Номер 711, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 711, страница 199.

Условие.

711. Составьте уравнение, равносильное данному:

а) $4x - 2 + y = 0$;

б) $5x + 4y - 2 = 2x - 3y + 5$;

в) $3x + 6y - 9 = 0$;

г) $x - y - 1 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые множества решений. Чтобы составить уравнение, равносильное данному, можно выполнить равносильное преобразование. В уравнении $4x - 2 + y = 0$ перенесём свободный член $-2$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный. Это действие является равносильным преобразованием.
Исходное уравнение: $4x - 2 + y = 0$.
Прибавим 2 к обеим частям уравнения:
$4x - 2 + y + 2 = 0 + 2$
$4x + y = 2$
Полученное уравнение $4x + y = 2$ имеет те же решения, что и исходное, следовательно, оно равносильно.

Ответ: $4x + y = 2$

б) Для того чтобы составить равносильное уравнение, упростим данное выражение $5x + 4y - 2 = 2x - 3y + 5$. Перенесём все члены, содержащие переменные, в левую часть уравнения, а свободные члены (числа) — в правую. При переносе члена из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный. Затем приведём подобные слагаемые.
$5x + 4y - 2 = 2x - 3y + 5$
$5x - 2x + 4y + 3y = 5 + 2$
$(5 - 2)x + (4 + 3)y = 7$
$3x + 7y = 7$
Это уравнение является равносильным исходному.

Ответ: $3x + 7y = 7$

в) Одним из равносильных преобразований является умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число. В уравнении $3x + 6y - 9 = 0$ все коэффициенты 3, 6 и свободный член -9 кратны 3. Разделим обе части уравнения на 3, чтобы его упростить и получить равносильное уравнение.
Исходное уравнение: $3x + 6y - 9 = 0$.
Делим обе части на 3:
$\frac{3x + 6y - 9}{3} = \frac{0}{3}$
$x + 2y - 3 = 0$
Полученное уравнение равносильно данному.

Ответ: $x + 2y - 3 = 0$

г) Уравнение $x - y - 1 = 0$ уже представлено в простом виде. Чтобы получить равносильное ему уравнение, можно выполнить любое равносильное преобразование. Например, умножим обе части уравнения на произвольное ненулевое число, скажем, на 2.
Исходное уравнение: $x - y - 1 = 0$.
Умножим обе части на 2:
$2 \cdot (x - y - 1) = 2 \cdot 0$
$2x - 2y - 2 = 0$
Другой простой способ — перенести свободный член в правую часть: $x - y = 1$. Любое из этих уравнений будет равносильно исходному.

Ответ: $2x - 2y - 2 = 0$