Номер 708, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 708, страница 199.

Условие.

708. При каком условии система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, у которой пропорциональны коэффициенты при неизвестных:

а) не имеет решений;

б) имеет бесконечно много решений?

Можно ли решать такие системы способом подстановки?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Рассмотрим общую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$: $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ По условию задачи, коэффициенты при неизвестных пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k \neq 0$, что: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = k $$ Отсюда следует, что $a_1 = k \cdot a_2$ и $b_1 = k \cdot b_2$. Подставим эти выражения в первое уравнение системы: $$ (k \cdot a_2)x + (k \cdot b_2)y = c_1 $$ Вынесем общий множитель $k$ за скобки: $$ k(a_2x + b_2y) = c_1 $$ Второе уравнение системы остается без изменений: $a_2x + b_2y = c_2$. Теперь мы можем подставить выражение $a_2x + b_2y$ из второго уравнения в преобразованное первое: $$ k \cdot c_2 = c_1 $$ Это соотношение между коэффициентами системы определяет, сколько решений она имеет.

а) не имеет решений;

Система уравнений не имеет решений, если она противоречива. В нашем случае это происходит, когда левая и правая части уравнений, после преобразований, приводят к неверному равенству. Из второго уравнения мы знаем, что $a_2x + b_2y = c_2$. Из первого уравнения, поделенного на $k$ (при $k \neq 0$), мы получаем $a_2x + b_2y = \frac{c_1}{k}$. Чтобы система не имела решений, значения выражений $a_2x + b_2y$ должны быть разными, то есть: $$ c_2 \neq \frac{c_1}{k} $$ Умножив на $k$, получим $k \cdot c_2 \neq c_1$. Подставив обратно значение $k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, мы получаем условие: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $$ Это означает, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но они не пропорциональны свободным членам. Геометрически это соответствует двум параллельным прямым, которые никогда не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений, если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены не пропорциональны им, то есть $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $.

б) имеет бесконечно много решений?

Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения являются эквивалентными (одно получается из другого умножением на число). Это происходит, когда соотношение $k \cdot c_2 = c_1$ выполняется. Если $k \cdot c_2 = c_1$, то, разделив обе части на $k$, получим $c_2 = \frac{c_1}{k}$. В этом случае оба уравнения системы ($a_2x + b_2y = c_2$ и $a_2x + b_2y = \frac{c_1}{k}$) становятся идентичными. Мы имеем одно уравнение с двумя неизвестными, которое имеет бесконечное множество решений. Условие $k \cdot c_2 = c_1$ можно переписать как $\frac{c_1}{c_2} = k$ (при $c_2 \neq 0$). Таким образом, все три отношения равны: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$ Это означает, что не только коэффициенты при неизвестных, но и свободные члены пропорциональны. Геометрически это соответствует двум совпадающим прямым.

Ответ: Система имеет бесконечно много решений, если коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны, то есть $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.

Можно ли решать такие системы способом подстановки?

Да, можно. Способ подстановки позволяет определить, имеет ли система решения и сколько их. Продемонстрируем это. Из первого уравнения $a_1x + b_1y = c_1$ выразим $x$ (предполагая, что $a_1 \neq 0$): $$ x = \frac{c_1 - b_1y}{a_1} $$ Подставим это выражение во второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$: $$ a_2 \left( \frac{c_1 - b_1y}{a_1} \right) + b_2y = c_2 $$ Умножим обе части на $a_1$: $$ a_2(c_1 - b_1y) + a_1b_2y = a_1c_2 $$ $$ a_2c_1 - a_2b_1y + a_1b_2y = a_1c_2 $$ Сгруппируем члены с $y$: $$ (a_1b_2 - a_2b_1)y = a_1c_2 - a_2c_1 $$ Поскольку по условию коэффициенты при неизвестных пропорциональны, то $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, откуда следует, что $a_1b_2 = a_2b_1$, и, соответственно, $a_1b_2 - a_2b_1 = 0$. Тогда уравнение принимает вид: $$ 0 \cdot y = a_1c_2 - a_2c_1 $$ Применение способа подстановки привело к тому, что переменная $y$ исчезла. Дальнейший анализ зависит от правой части уравнения:
1. Если $a_1c_2 - a_2c_1 \neq 0$ (что эквивалентно $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$), мы получаем неверное равенство, где $0$ равен ненулевому числу. Это означает, что система несовместна и не имеет решений.
2. Если $a_1c_2 - a_2c_1 = 0$ (что эквивалентно $\frac{a_1}{a_2} = \frac{c_1}{c_2}$), мы получаем верное тождество $0 = 0$. Это означает, что система имеет бесконечно много решений.
Таким образом, метод подстановки позволяет сделать однозначный вывод о количестве решений системы.

Ответ: Да, можно. Этот метод приводит к уравнению вида $0 = C$, где $C$ — некоторое число (выражение из коэффициентов). Если $C \neq 0$, система не имеет решений. Если $C=0$, система имеет бесконечно много решений.