Номер 703, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.4. Способ уравнивания коэффициентов. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 703, страница 194.

Условие.

703. Решите систему уравнений способом подстановки и способом уравнивания коэффициентов:

а) $\begin{cases} 4x + 5y - 2 = 0, \\ x - 3y + 8 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6x - 2y - 6 = 0, \\ 5x - y - 7 = 0; \end{cases}$

В) $\begin{cases} 2x + y - 3 = 0, \\ 3x + 2y - 5 = 0; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} 7x - 2y + 15 = 0, \\ x - 3y - 6 = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x + 5y - 2 = 0, \\ x - 3y + 8 = 0. \end{cases} $

Решение способом подстановки:
1. Из второго уравнения $x - 3y + 8 = 0$ выразим переменную $x$ через $y$:
$x = 3y - 8$.
2. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$4(3y - 8) + 5y - 2 = 0$.
3. Решим это уравнение относительно $y$:
$12y - 32 + 5y - 2 = 0$
$17y - 34 = 0$
$17y = 34$
$y = 2$.
4. Теперь найдем значение $x$, подставив $y=2$ в выражение для $x$ из шага 1:
$x = 3(2) - 8 = 6 - 8 = -2$.

Решение способом уравнивания коэффициентов:
1. Перепишем систему, перенеся свободные члены в правую часть:
$ \begin{cases} 4x + 5y = 2, \\ x - 3y = -8. \end{cases} $
2. Умножим второе уравнение на -4, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными числами:
$ \begin{cases} 4x + 5y = 2, \\ -4(x - 3y) = -4(-8) \end{cases} $ $ \begin{cases} 4x + 5y = 2, \\ -4x + 12y = 32. \end{cases} $
3. Сложим почленно уравнения полученной системы:
$(4x + 5y) + (-4x + 12y) = 2 + 32$
$17y = 34$
$y = 2$.
4. Подставим найденное значение $y=2$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$x - 3(2) + 8 = 0$
$x - 6 + 8 = 0$
$x + 2 = 0$
$x = -2$.

Ответ: $(-2; 2)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 6x - 2y - 6 = 0, \\ 5x - y - 7 = 0. \end{cases} $

Решение способом подстановки:
1. Из второго уравнения $5x - y - 7 = 0$ выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 5x - 7$.
2. Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$6x - 2(5x - 7) - 6 = 0$.
3. Решим это уравнение относительно $x$:
$6x - 10x + 14 - 6 = 0$
$-4x + 8 = 0$
$-4x = -8$
$x = 2$.
4. Теперь найдем значение $y$, подставив $x=2$ в выражение для $y$ из шага 1:
$y = 5(2) - 7 = 10 - 7 = 3$.

Решение способом уравнивания коэффициентов:
1. Перепишем систему, перенеся свободные члены в правую часть:
$ \begin{cases} 6x - 2y = 6, \\ 5x - y = 7. \end{cases} $
2. Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$ \begin{cases} 6x - 2y = 6, \\ -2(5x - y) = -2(7) \end{cases} $ $ \begin{cases} 6x - 2y = 6, \\ -10x + 2y = -14. \end{cases} $
3. Сложим почленно уравнения полученной системы:
$(6x - 2y) + (-10x + 2y) = 6 + (-14)$
$-4x = -8$
$x = 2$.
4. Подставим найденное значение $x=2$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$5(2) - y - 7 = 0$
$10 - y - 7 = 0$
$3 - y = 0$
$y = 3$.

Ответ: $(2; 3)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + y - 3 = 0, \\ 3x + 2y - 5 = 0. \end{cases} $

Решение способом подстановки:
1. Из первого уравнения $2x + y - 3 = 0$ выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 3 - 2x$.
2. Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$3x + 2(3 - 2x) - 5 = 0$.
3. Решим это уравнение относительно $x$:
$3x + 6 - 4x - 5 = 0$
$-x + 1 = 0$
$x = 1$.
4. Теперь найдем значение $y$, подставив $x=1$ в выражение для $y$ из шага 1:
$y = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$.

Решение способом уравнивания коэффициентов:
1. Перепишем систему, перенеся свободные члены в правую часть:
$ \begin{cases} 2x + y = 3, \\ 3x + 2y = 5. \end{cases} $
2. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$ \begin{cases} -2(2x + y) = -2(3), \\ 3x + 2y = 5 \end{cases} $ $ \begin{cases} -4x - 2y = -6, \\ 3x + 2y = 5. \end{cases} $
3. Сложим почленно уравнения полученной системы:
$(-4x - 2y) + (3x + 2y) = -6 + 5$
$-x = -1$
$x = 1$.
4. Подставим найденное значение $x=1$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:
$2(1) + y - 3 = 0$
$2 + y - 3 = 0$
$y - 1 = 0$
$y = 1$.

Ответ: $(1; 1)$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 7x - 2y + 15 = 0, \\ x - 3y - 6 = 0. \end{cases} $

Решение способом подстановки:
1. Из второго уравнения $x - 3y - 6 = 0$ выразим переменную $x$ через $y$:
$x = 3y + 6$.
2. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$7(3y + 6) - 2y + 15 = 0$.
3. Решим это уравнение относительно $y$:
$21y + 42 - 2y + 15 = 0$
$19y + 57 = 0$
$19y = -57$
$y = -3$.
4. Теперь найдем значение $x$, подставив $y=-3$ в выражение для $x$ из шага 1:
$x = 3(-3) + 6 = -9 + 6 = -3$.

Решение способом уравнивания коэффициентов:
1. Перепишем систему, перенеся свободные члены в правую часть:
$ \begin{cases} 7x - 2y = -15, \\ x - 3y = 6. \end{cases} $
2. Умножим второе уравнение на -7, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$ \begin{cases} 7x - 2y = -15, \\ -7(x - 3y) = -7(6) \end{cases} $ $ \begin{cases} 7x - 2y = -15, \\ -7x + 21y = -42. \end{cases} $
3. Сложим почленно уравнения полученной системы:
$(7x - 2y) + (-7x + 21y) = -15 + (-42)$
$19y = -57$
$y = -3$.
4. Подставим найденное значение $y=-3$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$x - 3(-3) - 6 = 0$
$x + 9 - 6 = 0$
$x + 3 = 0$
$x = -3$.

Ответ: $(-3; -3)$.