Номер 697, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.3. Способ подстановки. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 697, страница 191.

Условие.

697. а) $\begin{cases} x - y - 1 = 0, \\ x + y - 5 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y - 2 = 0, \\ x + y - 6 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y - 2 = 0, \\ 3x - 2y - 9 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 2y - 3 = 0, \\ 5x + y - 4 = 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x + 2y - 11 = 0, \\ 4x - 5y + 8 = 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} x + 4y - 2 = 0, \\ 3x + 8y - 2 = 0; \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 2x + 4y - 90 = 0, \\ x - 3y - 10 = 0; \end{cases}$

з) $\begin{cases} 3x - 2y - 4 = 0, \\ x + 5y - 7 = 0; \end{cases}$

и) $\begin{cases} 3x - 4y - 7 = 0, \\ x + 2y + 1 = 0; \end{cases}$

к) $\begin{cases} 7x - 2y - 6 = 0, \\ x + 4y + 12 = 0; \end{cases}$

л) $\begin{cases} x - y - 12 = 0, \\ 2x + 4y = 0; \end{cases}$

м) $\begin{cases} 2x + 3y - 3 = 0, \\ x - y + 6 = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y - 1 = 0 \\ x + y - 5 = 0 \end{cases} $$ Это система линейных уравнений. Решим ее методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$(x - y - 1) + (x + y - 5) = 0 + 0$
$2x - 6 = 0$
$2x = 6$
$x = 3$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы:
$3 - y - 1 = 0$
$2 - y = 0$
$y = 2$
Ответ: $(3, 2)$

б) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ x + y - 6 = 0 \end{cases} $$ Решим методом сложения. Сложим уравнения:
$(x - y - 2) + (x + y - 6) = 0$
$2x - 8 = 0$
$2x = 8$
$x = 4$
Подставим значение $x$ в первое уравнение:
$4 - y - 2 = 0$
$2 - y = 0$
$y = 2$
Ответ: $(4, 2)$

в) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ 3x - 2y - 9 = 0 \end{cases} $$ Решим методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = y + 2$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3(y + 2) - 2y - 9 = 0$
$3y + 6 - 2y - 9 = 0$
$y - 3 = 0$
$y = 3$
Теперь найдем $x$:
$x = 3 + 2 = 5$
Ответ: $(5, 3)$

г) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y - 3 = 0 \\ 5x + y - 4 = 0 \end{cases} $$ Решим методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 4 - 5x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x - 2(4 - 5x) - 3 = 0$
$x - 8 + 10x - 3 = 0$
$11x - 11 = 0$
$11x = 11$
$x = 1$
Теперь найдем $y$:
$y = 4 - 5(1) = -1$
Ответ: $(1, -1)$

д) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y - 11 = 0 \\ 4x - 5y + 8 = 0 \end{cases} $$ Решим методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 11 - 2y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$4(11 - 2y) - 5y + 8 = 0$
$44 - 8y - 5y + 8 = 0$
$52 - 13y = 0$
$13y = 52$
$y = 4$
Теперь найдем $x$:
$x = 11 - 2(4) = 11 - 8 = 3$
Ответ: $(3, 4)$

е) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 4y - 2 = 0 \\ 3x + 8y - 2 = 0 \end{cases} $$ Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$-2(x + 4y - 2) = 0 \implies -2x - 8y + 4 = 0$
Теперь система выглядит так: $$ \begin{cases} -2x - 8y + 4 = 0 \\ 3x + 8y - 2 = 0 \end{cases} $$ Сложим уравнения:
$(-2x - 8y + 4) + (3x + 8y - 2) = 0$
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Подставим $x = -2$ в первое исходное уравнение:
$-2 + 4y - 2 = 0$
$4y - 4 = 0$
$4y = 4$
$y = 1$
Ответ: $(-2, 1)$

ж) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 4y - 90 = 0 \\ x - 3y - 10 = 0 \end{cases} $$ Упростим первое уравнение, разделив его на 2:
$x + 2y - 45 = 0$
Теперь система: $$ \begin{cases} x + 2y - 45 = 0 \\ x - 3y - 10 = 0 \end{cases} $$ Решим методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(x + 2y - 45) - (x - 3y - 10) = 0$
$x + 2y - 45 - x + 3y + 10 = 0$
$5y - 35 = 0$
$5y = 35$
$y = 7$
Подставим $y = 7$ во второе исходное уравнение:
$x - 3(7) - 10 = 0$
$x - 21 - 10 = 0$
$x = 31$
Ответ: $(31, 7)$

з) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 2y - 4 = 0 \\ x + 5y - 7 = 0 \end{cases} $$ Решим методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 7 - 5y$
Подставим в первое уравнение:
$3(7 - 5y) - 2y - 4 = 0$
$21 - 15y - 2y - 4 = 0$
$17 - 17y = 0$
$17y = 17$
$y = 1$
Найдем $x$:
$x = 7 - 5(1) = 2$
Ответ: $(2, 1)$

и) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 4y - 7 = 0 \\ x + 2y + 1 = 0 \end{cases} $$ Решим методом сложения. Умножим второе уравнение на 2:
$2(x + 2y + 1) = 0 \implies 2x + 4y + 2 = 0$
Сложим новое второе уравнение с первым:
$(3x - 4y - 7) + (2x + 4y + 2) = 0$
$5x - 5 = 0$
$5x = 5$
$x = 1$
Подставим $x = 1$ во второе исходное уравнение:
$1 + 2y + 1 = 0$
$2y + 2 = 0$
$2y = -2$
$y = -1$
Ответ: $(1, -1)$

к) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 7x - 2y - 6 = 0 \\ x + 4y + 12 = 0 \end{cases} $$ Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 2:
$2(7x - 2y - 6) = 0 \implies 14x - 4y - 12 = 0$
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(14x - 4y - 12) + (x + 4y + 12) = 0$
$15x = 0$
$x = 0$
Подставим $x = 0$ во второе исходное уравнение:
$0 + 4y + 12 = 0$
$4y = -12$
$y = -3$
Ответ: $(0, -3)$

л) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y - 12 = 0 \\ 2x + 4y = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $x$. Сначала разделим его на 2:
$x + 2y = 0 \implies x = -2y$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(-2y) - y - 12 = 0$
$-3y - 12 = 0$
$-3y = 12$
$y = -4$
Найдем $x$:
$x = -2(-4) = 8$
Ответ: $(8, -4)$

м) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 3y - 3 = 0 \\ x - y + 6 = 0 \end{cases} $$ Решим методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:
$x = y - 6$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(y - 6) + 3y - 3 = 0$
$2y - 12 + 3y - 3 = 0$
$5y - 15 = 0$
$5y = 15$
$y = 3$
Теперь найдем $x$:
$x = 3 - 6 = -3$
Ответ: $(-3, 3)$