Номер 695, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.3. Способ подстановки. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 695, страница 191.

Условие.

695. Сколько решений имеет система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, если её коэффициенты при неизвестных отличны от нуля и непропорциональны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Рассмотрим систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными $x$ и $y$ в общем виде:
$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$
Здесь $a_1, b_1, a_2, b_2$ — это коэффициенты при неизвестных, а $c_1, c_2$ — свободные члены.

Количество решений такой системы напрямую зависит от соотношения ее коэффициентов.Геометрически каждое такое уравнение представляет собой прямую на координатной плоскости. Решение системы — это точка (или точки) пересечения этих прямых.

Существует три возможных сценария:
1. Одно решение: Прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны. Условие для коэффициентов: $a_1/a_2 \neq b_1/b_2$.
2. Нет решений: Прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, но сдвиг по оси y различен. Условие для коэффициентов: $a_1/a_2 = b_1/b_2 \neq c_1/c_2$.
3. Бесконечно много решений: Прямые совпадают. Это происходит, когда оба уравнения по сути одинаковы. Условие для коэффициентов: $a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2$.

В условии задачи указано, что коэффициенты при неизвестных ($a_1, b_1, a_2, b_2$) отличны от нуля и непропорциональны.

Условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных математически записывается именно как:
$a_1/a_2 \neq b_1/b_2$

Это соотношение в точности соответствует первому случаю, когда система имеет единственное решение. Поскольку коэффициенты не пропорциональны, угловые коэффициенты прямых ($k_1 = -a_1/b_1$ и $k_2 = -a_2/b_2$) не равны между собой. Две прямые на плоскости с разными угловыми коэффициентами обязательно пересекутся, и притом только в одной точке. Координаты этой точки и будут являться единственным решением системы.

Ответ: Такая система имеет ровно одно решение.