Номер 698, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.3. Способ подстановки. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 698, страница 191.

Условие.

Решите систему уравнений (698–699):

698. а)

$\begin{cases} 5x + y - 7 = 0, \\ x - 3y - 11 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + y - 1 = 0, \\ 3x + 2y + 5 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x + y - 7 = 0, \\ x - 2y + 4 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + y + 5 = 0, \\ x - 3y - 5 = 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x + 2y - 4 = 0, \\ 3x + y + 3 = 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 5x + y - 15 = 0, \\ x - 2y - 14 = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 5x + y - 7 = 0 \\ x - 3y - 11 = 0 \end{cases}$
Это система линейных уравнений. Решим ее методом подстановки.
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 7 - 5x$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$x - 3(7 - 5x) - 11 = 0$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$x - 21 + 15x - 11 = 0$
$16x - 32 = 0$
$16x = 32$
$x = \frac{32}{16}$
$x = 2$
Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 2$ в выражение для $y$:
$y = 7 - 5(2)$
$y = 7 - 10$
$y = -3$
Проверим решение, подставив $x=2$ и $y=-3$ в оба исходных уравнения:
$5(2) + (-3) - 7 = 10 - 3 - 7 = 0$
$2 - 3(-3) - 11 = 2 + 9 - 11 = 0$
Оба равенства верны.
Ответ: $(2, -3)$.

б) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 2x + y - 1 = 0 \\ 3x + 2y + 5 = 0 \end{cases}$
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 1 - 2x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3x + 2(1 - 2x) + 5 = 0$
Решим полученное уравнение:
$3x + 2 - 4x + 5 = 0$
$-x + 7 = 0$
$x = 7$
Теперь найдем $y$:
$y = 1 - 2(7)$
$y = 1 - 14$
$y = -13$
Ответ: $(7, -13)$.

в) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 2x + y - 7 = 0 \\ x - 2y + 4 = 0 \end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$2(2x + y - 7) = 0 \implies 4x + 2y - 14 = 0$
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(4x + 2y - 14) + (x - 2y + 4) = 0$
$5x - 10 = 0$
$5x = 10$
$x = 2$
Подставим найденное значение $x = 2$ в первое исходное уравнение:
$2(2) + y - 7 = 0$
$4 + y - 7 = 0$
$y - 3 = 0$
$y = 3$
Ответ: $(2, 3)$.

г) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 3x + y + 5 = 0 \\ x - 3y - 5 = 0 \end{cases}$
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = -3x - 5$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x - 3(-3x - 5) - 5 = 0$
$x + 9x + 15 - 5 = 0$
$10x + 10 = 0$
$10x = -10$
$x = -1$
Теперь найдем $y$:
$y = -3(-1) - 5$
$y = 3 - 5$
$y = -2$
Ответ: $(-1, -2)$.

д) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} x + 2y - 4 = 0 \\ 3x + y + 3 = 0 \end{cases}$
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 4 - 2y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3(4 - 2y) + y + 3 = 0$
$12 - 6y + y + 3 = 0$
$15 - 5y = 0$
$5y = 15$
$y = 3$
Теперь найдем $x$:
$x = 4 - 2(3)$
$x = 4 - 6$
$x = -2$
Ответ: $(-2, 3)$.

е) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 5x + y - 15 = 0 \\ x - 2y - 14 = 0 \end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2:
$2(5x + y - 15) = 0 \implies 10x + 2y - 30 = 0$
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(10x + 2y - 30) + (x - 2y - 14) = 0$
$11x - 44 = 0$
$11x = 44$
$x = 4$
Подставим $x = 4$ в первое исходное уравнение:
$5(4) + y - 15 = 0$
$20 + y - 15 = 0$
$y + 5 = 0$
$y = -5$
Ответ: $(4, -5)$.