Номер 699, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.3. Способ подстановки. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 699, страница 191.

Условие.

699. a) $\begin{cases} 2x - 3y + 7 = 0, \\ 3x + 4y - 1 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - 3y - 5 = 0, \\ 6x + 8y + 11 = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y + 7 = 0 \\ 3x + 4y - 1 = 0 \end{cases} $

Сначала перепишем систему в стандартном виде, перенеся свободные члены в правую часть уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y = -7 \\ 3x + 4y = 1 \end{cases} $

Для решения системы применим метод алгебраического сложения. Чтобы исключить переменную $x$, умножим первое уравнение на 3, а второе уравнение на -2. Это позволит получить противоположные коэффициенты при $x$.

$ \begin{cases} 3 \cdot (2x - 3y) = 3 \cdot (-7) \\ -2 \cdot (3x + 4y) = -2 \cdot 1 \end{cases} $

В результате получаем новую систему:

$ \begin{cases} 6x - 9y = -21 \\ -6x - 8y = -2 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(6x - 9y) + (-6x - 8y) = -21 + (-2)$

$6x - 9y - 6x - 8y = -23$

$-17y = -23$

Отсюда находим значение $y$:

$y = \frac{-23}{-17} = \frac{23}{17}$

Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение $2x - 3y = -7$ для нахождения $x$:

$2x - 3 \cdot \frac{23}{17} = -7$

$2x - \frac{69}{17} = -7$

$2x = -7 + \frac{69}{17}$

Приведем -7 к знаменателю 17: $-7 = -\frac{7 \cdot 17}{17} = -\frac{119}{17}$.

$2x = -\frac{119}{17} + \frac{69}{17}$

$2x = \frac{-119 + 69}{17}$

$2x = -\frac{50}{17}$

$x = -\frac{50}{17 \cdot 2} = -\frac{25}{17}$

Ответ: $(-\frac{25}{17}; \frac{23}{17})$.

---

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 3y - 5 = 0 \\ 6x + 8y + 11 = 0 \end{cases} $

Перепишем систему в стандартном виде:

$ \begin{cases} 3x - 3y = 5 \\ 6x + 8y = -11 \end{cases} $

Воспользуемся методом сложения. Умножим обе части первого уравнения на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$ \begin{cases} -2 \cdot (3x - 3y) = -2 \cdot 5 \\ 6x + 8y = -11 \end{cases} $

Получим эквивалентную систему:

$ \begin{cases} -6x + 6y = -10 \\ 6x + 8y = -11 \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(-6x + 6y) + (6x + 8y) = -10 + (-11)$

$-6x + 6y + 6x + 8y = -21$

$14y = -21$

Найдем $y$:

$y = -\frac{21}{14} = -\frac{3}{2}$

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение $3x - 3y = 5$:

$3x - 3 \cdot (-\frac{3}{2}) = 5$

$3x + \frac{9}{2} = 5$

$3x = 5 - \frac{9}{2}$

Приведем 5 к знаменателю 2: $5 = \frac{10}{2}$.

$3x = \frac{10}{2} - \frac{9}{2}$

$3x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$

Ответ: $(\frac{1}{6}; -\frac{3}{2})$.