Номер 702, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.4. Способ уравнивания коэффициентов. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 702, страница 194.

Условие.

702. a) $\begin{cases} x + 2y - 3 = 0 \\ 2x - 3y + 8 = 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + y - 8 = 0 \\ 3x + 4y - 7 = 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} -6x + 2y + 6 = 0 \\ 5x - y - 17 = 0 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5x + 3y - 7 = 0 \\ 2x - y - 5 = 0 \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x + 5y - 15 = 0 \\ 3x + 2y - 6 = 0 \end{cases}$

е) $\begin{cases} 4x - 5y - 3 = 0 \\ 3x - 2y - 11 = 0 \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 2x + 4y - 6 = 0 \\ 3x - 2y - 25 = 0 \end{cases}$

з) $\begin{cases} 5x + 3y - 7 = 0 \\ 3x - 5y - 45 = 0 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Решим систему уравнений $ \begin{cases} x + 2y - 3 = 0 \\ 2x - 3y + 8 = 0 \end{cases} $ методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 3 - 2y$. Подставим это выражение во второе уравнение: $2(3 - 2y) - 3y + 8 = 0$. Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$: $6 - 4y - 3y + 8 = 0$, что приводит к $14 - 7y = 0$. Отсюда $7y = 14$, и $y = 2$. Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$: $x = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$.
Ответ: $(-1; 2)$.

б) Решим систему уравнений $ \begin{cases} 2x + y - 8 = 0 \\ 3x + 4y - 7 = 0 \end{cases} $ методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$: $y = 8 - 2x$. Подставим это выражение во второе уравнение: $3x + 4(8 - 2x) - 7 = 0$. Решим полученное уравнение: $3x + 32 - 8x - 7 = 0$, что упрощается до $-5x + 25 = 0$. Отсюда $5x = 25$, и $x = 5$. Теперь найдем $y$: $y = 8 - 2(5) = 8 - 10 = -2$.
Ответ: $(5; -2)$.

в) Решим систему уравнений $ \begin{cases} -6x + 2y + 6 = 0 \\ 5x - y - 17 = 0 \end{cases} $ методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$: $y = 5x - 17$. Подставим это выражение в первое уравнение: $-6x + 2(5x - 17) + 6 = 0$. Решим уравнение: $-6x + 10x - 34 + 6 = 0$, что дает $4x - 28 = 0$. Отсюда $4x = 28$, и $x = 7$. Теперь найдем $y$: $y = 5(7) - 17 = 35 - 17 = 18$.
Ответ: $(7; 18)$.

г) Решим систему уравнений $ \begin{cases} 5x + 3y - 7 = 0 \\ 2x - y - 5 = 0 \end{cases} $ методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$: $y = 2x - 5$. Подставим это выражение в первое уравнение: $5x + 3(2x - 5) - 7 = 0$. Решим уравнение: $5x + 6x - 15 - 7 = 0$, что приводит к $11x - 22 = 0$. Отсюда $11x = 22$, и $x = 2$. Теперь найдем $y$: $y = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1$.
Ответ: $(2; -1)$.

д) Решим систему уравнений $ \begin{cases} 2x + 5y - 15 = 0 \\ 3x + 2y - 6 = 0 \end{cases} $ методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными: $ \begin{cases} 6x + 15y - 45 = 0 \\ -6x - 4y + 12 = 0 \end{cases} $. Сложим два новых уравнения: $(6x + 15y - 45) + (-6x - 4y + 12) = 0$, что дает $11y - 33 = 0$. Отсюда $11y = 33$, и $y = 3$. Подставим $y=3$ в первое исходное уравнение: $2x + 5(3) - 15 = 0$, $2x + 15 - 15 = 0$, $2x = 0$, $x = 0$.
Ответ: $(0; 3)$.

е) Решим систему уравнений $ \begin{cases} 4x - 5y - 3 = 0 \\ 3x - 2y - 11 = 0 \end{cases} $ методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными: $ \begin{cases} 8x - 10y - 6 = 0 \\ -15x + 10y + 55 = 0 \end{cases} $. Сложим уравнения: $(8x - 10y - 6) + (-15x + 10y + 55) = 0$, что упрощается до $-7x + 49 = 0$. Отсюда $7x = 49$, и $x = 7$. Подставим $x=7$ в первое исходное уравнение: $4(7) - 5y - 3 = 0$, $28 - 5y - 3 = 0$, $25 - 5y = 0$, $5y = 25$, $y = 5$.
Ответ: $(7; 5)$.

ж) Решим систему уравнений $ \begin{cases} 2x + 4y - 6 = 0 \\ 3x - 2y - 25 = 0 \end{cases} $. Упростим первое уравнение, разделив все его члены на 2: $x + 2y - 3 = 0$. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными: $6x - 4y - 50 = 0$. Теперь решим систему $ \begin{cases} 2x + 4y - 6 = 0 \\ 6x - 4y - 50 = 0 \end{cases} $ методом сложения. Сложим уравнения: $(2x + 4y - 6) + (6x - 4y - 50) = 0$, что дает $8x - 56 = 0$. Отсюда $8x = 56$, и $x = 7$. Подставим $x=7$ в упрощенное первое уравнение $x + 2y - 3 = 0$: $7 + 2y - 3 = 0$, $4 + 2y = 0$, $2y = -4$, $y = -2$.
Ответ: $(7; -2)$.

з) Решим систему уравнений $ \begin{cases} 5x + 3y - 7 = 0 \\ 3x - 5y - 45 = 0 \end{cases} $ методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными: $ \begin{cases} 25x + 15y - 35 = 0 \\ 9x - 15y - 135 = 0 \end{cases} $. Сложим уравнения: $(25x + 15y - 35) + (9x - 15y - 135) = 0$, что дает $34x - 170 = 0$. Отсюда $34x = 170$, и $x = 5$. Подставим $x=5$ в первое исходное уравнение: $5(5) + 3y - 7 = 0$, $25 + 3y - 7 = 0$, $18 + 3y = 0$, $3y = -18$, $y = -6$.
Ответ: $(5; -6)$.