Номер 709, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 709, страница 199.

Условие.

709. Равносильны ли уравнения:

а) $2x - 2y = x$ и $x - y = 0$;

б) $3x - 5y = 0$ и $3x = 5y$;

в) $3x - 6 + 2y = 0$ и $2 - x - 2y = 0$;

г) $x + y - 5 = 0$ и $x = 5 - y$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Рассмотрим уравнения $2x - 2y = x$ и $x - y = 0$.
Упростим первое уравнение, перенеся $x$ из правой части в левую:
$2x - x - 2y = 0$
$x - 2y = 0$
Теперь у нас есть два уравнения: $x - 2y = 0$ и $x - y = 0$.
Из первого уравнения следует, что $x = 2y$, а из второго — что $x = y$.
Эти уравнения имеют разные множества решений. Например, пара чисел $(x=2, y=1)$ является решением первого уравнения ($2 - 2 \cdot 1 = 0$), но не является решением второго ($2 - 1 \neq 0$). Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

б) Рассмотрим уравнения $3x - 5y = 0$ и $3x = 5y$.
Преобразуем первое уравнение. Перенесем слагаемое $-5y$ из левой части в правую, изменив знак:
$3x = 5y$
Полученное уравнение в точности совпадает со вторым уравнением. Так как одно уравнение получено из другого с помощью равносильного преобразования (перенос слагаемого), то исходные уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

в) Рассмотрим уравнения $3x - 6 + 2y = 0$ и $2 - x - 2y = 0$.
Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.
Для первого уравнения: $3x + 2y = 6$.
Для второго уравнения: $-x - 2y = -2$. Умножим обе части на $-1$ (это равносильное преобразование): $x + 2y = 2$.
Сравним преобразованные уравнения: $3x + 2y = 6$ и $x + 2y = 2$.
Это уравнения двух разных прямых, так как у них разные коэффициенты при $x$. Например, пара чисел $(x=0, y=1)$ является решением второго уравнения ($0 + 2 \cdot 1 = 2$), но не является решением первого ($3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 \neq 6$). Поскольку множества решений не совпадают, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

г) Рассмотрим уравнения $x + y - 5 = 0$ и $x = 5 - y$.
Преобразуем первое уравнение, выразив $x$ через $y$. Для этого перенесем $y$ и $-5$ в правую часть уравнения, изменив их знаки:
$x = -y + 5$
$x = 5 - y$
Полученное уравнение полностью совпадает со вторым. Так как преобразования были равносильными, исходные уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.