Номер 715, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 715, страница 199.

Условие.

715. Исследуем. При каком $a$ равносильны системы уравнений: $\begin{cases} ax - y = 5, \\ x + y = 2 \end{cases}$ и $\begin{cases} x - 2 = -y, \\ 4x - 2y = 0? \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одинаковые множества решений. Чтобы найти значение параметра $a$, при котором данные системы равносильны, необходимо сначала найти решение той системы, которая не содержит параметр, а затем подставить это решение в другую систему и найти искомое значение $a$.

Решим вторую систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 2 = -y, \\ 4x - 2y = 0 \end{cases} $

Преобразуем уравнения системы. Из первого уравнения следует, что $x + y = 2$. Второе уравнение, $4x - 2y = 0$, можно разделить на 2, получив $2x - y = 0$. Таким образом, система принимает вид:

$ \begin{cases} x + y = 2, \\ 2x - y = 0 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $y$:
$(x + y) + (2x - y) = 2 + 0$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение $2x - y = 0$:
$y = 2x = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Итак, решением второй системы является пара чисел $(\frac{2}{3}; \frac{4}{3})$.

Чтобы системы были равносильны, это же решение должно удовлетворять и первой системе:

$ \begin{cases} ax - y = 5, \\ x + y = 2 \end{cases} $

Подставим найденные значения $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{4}{3}$ в уравнения.
Проверим второе уравнение: $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Равенство $2=2$ верное.

Теперь подставим значения $x$ и $y$ в первое уравнение $ax - y = 5$, чтобы найти параметр $a$:
$a \cdot \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = 5$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$2a - 4 = 15$
$2a = 15 + 4$
$2a = 19$
$a = \frac{19}{2} = 9.5$

При $a = 9.5$ обе системы имеют одно и то же решение $(\frac{2}{3}; \frac{4}{3})$, следовательно, они равносильны.

Ответ: $a = 9.5$