Номер 721, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 721, страница 202.

Условие.

721. a) $\begin{cases} 4x + 4y = 2, \\ 2x + 2y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + y = 1, \\ 2x - y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 3, \\ 3x + 3y = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 2y = 4, \\ x - 4 = 2y. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x + 4y = 2 \\ 2x + 2y = 1 \end{cases} $.
Разделим обе части первого уравнения на 2:
$ (4x + 4y) \div 2 = 2 \div 2 $
$ 2x + 2y = 1 $
После этого преобразования система выглядит так: $ \begin{cases} 2x + 2y = 1 \\ 2x + 2y = 1 \end{cases} $.
Оба уравнения идентичны. Это означает, что графики уравнений совпадают, и система имеет бесконечное множество решений. Любая точка, лежащая на прямой $2x + 2y = 1$, является решением.
Выразим переменную $y$ через $x$:
$ 2y = 1 - 2x $
$ y = \frac{1 - 2x}{2} $ или $ y = 0.5 - x $.
Таким образом, любое решение системы можно записать в виде $(x, 0.5 - x)$, где $x$ — любое действительное число.
Ответ: система имеет бесконечное множество решений вида $(x, 0.5 - x)$, где $x$ – любое число.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $.
Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$ (2x + y) + (2x - y) = 1 + 1 $
$ 4x = 2 $
$ x = \frac{2}{4} = 0.5 $
Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:
$ 2(0.5) + y = 1 $
$ 1 + y = 1 $
$ y = 0 $
Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение:
$ 2(0.5) - 0 = 1 $
$ 1 = 1 $. Верно.
Таким образом, система имеет единственное решение.
Ответ: $(0.5, 0)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 3 \\ 3x + 3y = 6 \end{cases} $.
Разделим обе части второго уравнения на 3:
$ (3x + 3y) \div 3 = 6 \div 3 $
$ x + y = 2 $
Теперь система уравнений выглядит так: $ \begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} $.
Мы получили противоречие, так как одно и то же выражение $x + y$ не может быть одновременно равно 3 и 2. Это означает, что система несовместна и не имеет решений. Графически это две параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.
Ответ: решений нет.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ x - 4 = 2y \end{cases} $.
Приведем второе уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$, перенеся $2y$ в левую часть, а $-4$ в правую:
$ x - 2y = 4 $
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ x - 2y = 4 \end{cases} $.
Оба уравнения в системе одинаковы. Это означает, что система, как и в пункте а), имеет бесконечное множество решений. Все точки прямой $x - 2y = 4$ являются решениями.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения:
$ x = 4 + 2y $.
Таким образом, любое решение системы можно записать в виде $(4 + 2y, y)$, где $y$ — любое действительное число.
Ответ: система имеет бесконечное множество решений вида $(4 + 2y, y)$, где $y$ – любое число.