Номер 716, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 716, страница 199.

Условие.

716. Равносильны ли системы уравнений: $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases}$; $\begin{cases} 2x - y - 1 = 0 \\ 5x + y - 6 = 0 \end{cases}$; $\begin{cases} -3x + y + 2 = 0 \\ 5x - 2y - 3 = 0 \end{cases}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Чтобы определить, равносильны ли данные системы, найдем решение каждой из них.

Рассмотрим первую систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = -1 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases} $

Воспользуемся методом сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны. Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x - 2y) + (3x + 2y) = -1 + 5$

В результате получаем $4x = 4$, откуда $x = 1$.

Теперь подставим найденное значение $x=1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$1 - 2y = -1$

$-2y = -1 - 1$

$-2y = -2$

$y = 1$

Таким образом, решение первой системы: $(1; 1)$.

Далее, рассмотрим вторую систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y - 1 = 0 \\ 5x + y - 6 = 0 \end{cases} $

Для удобства перепишем систему в стандартном виде:

$ \begin{cases} 2x - y = 1 \\ 5x + y = 6 \end{cases} $

Снова используем метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны:

$(2x - y) + (5x + y) = 1 + 6$

Получаем $7x = 7$, откуда $x = 1$.

Подставим значение $x=1$ в первое уравнение новой системы ($2x - y = 1$):

$2(1) - y = 1$

$2 - y = 1$

$-y = 1 - 2$

$-y = -1$

$y = 1$

Таким образом, решение второй системы: $(1; 1)$.

Наконец, решим третью систему уравнений:

$ \begin{cases} -3x + y + 2 = 0 \\ 5x - 2y - 3 = 0 \end{cases} $

Перепишем систему в стандартном виде:

$ \begin{cases} -3x + y = -2 \\ 5x - 2y = 3 \end{cases} $

В данном случае удобно использовать метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x - 2$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$5x - 2(3x - 2) = 3$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$5x - 6x + 4 = 3$

$-x + 4 = 3$

$-x = -1$

$x = 1$

Теперь найдем $y$, подставив $x=1$ в выражение для $y$:

$y = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1$

Таким образом, решение третьей системы: $(1; 1)$.

Поскольку все три системы имеют одно и то же единственное решение $(1; 1)$, они являются равносильными.

Ответ: Да, системы уравнений равносильны.