Номер 713, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 713, страница 199.

Условие.

713. Равносильны ли системы уравнений:

a) $$\begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x + y - 4 = 0 \end{cases}$$ и $$\begin{cases} x = y - 3 \\ 2(y - 3) + y - 4 = 0 \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 3x - y + 2 = 0 \\ -x + y - 3 = 0 \end{cases}$$ и $$\begin{cases} 3x - y + 2 = 0 \\ 2x - 1 = 0 \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 4x - 2y - 5 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases}$$ и $$\begin{cases} 4(2 - y) - 2y - 5 = 0 \\ x = 2 - y \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} x + y + 1 = 0 \\ 3x - 2y - 2 = 0 \end{cases}$$ и $$\begin{cases} y = 1 - x \\ 5x - 4 = 0 \end{cases}$$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)Рассмотрим системы:Первая: $\begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x + y - 4 = 0 \end{cases}$ и Вторая: $\begin{cases} x = y - 3 \\ 2(y - 3) + y - 4 = 0 \end{cases}$.

Вторая система получена из первой методом подстановки. Из первого уравнения первой системы выражена переменная $x$: $x-y+3=0 \implies x=y-3$. Это первое уравнение второй системы. Затем это выражение подставлено во второе уравнение первой системы: $2(y-3)+y-4=0$. Это второе уравнение второй системы. Метод подстановки является равносильным преобразованием, поэтому системы равносильны.

Для проверки найдем решения обеих систем.Решение первой системы: из $x - y + 3 = 0$ имеем $x = y - 3$. Подставим во второе уравнение: $2(y-3) + y - 4 = 0 \implies 2y - 6 + y - 4 = 0 \implies 3y = 10 \implies y = \frac{10}{3}$. Тогда $x = \frac{10}{3} - 3 = \frac{1}{3}$. Решение: $(\frac{1}{3}, \frac{10}{3})$.Решение второй системы: из второго уравнения $2y - 6 + y - 4 = 0 \implies 3y = 10 \implies y = \frac{10}{3}$. Из первого уравнения $x = y-3 = \frac{10}{3} - 3 = \frac{1}{3}$. Решение: $(\frac{1}{3}, \frac{10}{3})$.Решения систем совпадают.

Ответ: системы равносильны.

б)Рассмотрим системы:Первая: $\begin{cases} 3x - y + 2 = 0 \\ -x + y - 3 = 0 \end{cases}$ и Вторая: $\begin{cases} 3x - y + 2 = 0 \\ 2x - 1 = 0 \end{cases}$.

Вторая система получена из первой равносильным преобразованием. Первое уравнение сохранено. Второе уравнение второй системы ($2x-1=0$) является результатом сложения первого и второго уравнений первой системы: $(3x-y+2)+(-x+y-3) = 0 \implies 2x-1=0$. Замена уравнения в системе на сумму уравнений этой же системы является равносильным преобразованием. Следовательно, системы равносильны.

Для проверки найдем решения обеих систем.Решение первой системы: сложим уравнения: $2x-1=0 \implies x=\frac{1}{2}$. Подставим во второе уравнение: $-\frac{1}{2}+y-3=0 \implies y=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$. Решение: $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$.Решение второй системы: из второго уравнения $2x-1=0 \implies x=\frac{1}{2}$. Подставим в первое: $3(\frac{1}{2})-y+2=0 \implies \frac{3}{2}-y+2=0 \implies \frac{7}{2}-y=0 \implies y=\frac{7}{2}$. Решение: $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$.Решения систем совпадают.

Ответ: системы равносильны.

в)Рассмотрим системы:Первая: $\begin{cases} 4x - 2y - 5 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases}$ и Вторая: $\begin{cases} 4(2 - y) - 2y - 5 = 0 \\ x = 2 - y \end{cases}$.

Вторая система получена из первой методом подстановки. Из второго уравнения первой системы выражена переменная $x$: $x+y-2=0 \implies x=2-y$. Это второе уравнение второй системы. Затем это выражение подставлено в первое уравнение первой системы: $4(2-y)-2y-5=0$. Это первое уравнение второй системы. Метод подстановки является равносильным преобразованием, поэтому системы равносильны.

Для проверки найдем решения обеих систем.Решение первой системы: из $x+y-2=0$ имеем $x=2-y$. Подставим в первое уравнение: $4(2-y)-2y-5=0 \implies 8-4y-2y-5=0 \implies 3-6y=0 \implies 6y=3 \implies y=\frac{1}{2}$. Тогда $x=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Решение: $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$.Решение второй системы: из первого уравнения $8-4y-2y-5=0 \implies 3-6y=0 \implies y=\frac{1}{2}$. Из второго уравнения $x=2-y=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Решение: $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$.Решения систем совпадают.

Ответ: системы равносильны.

г)Рассмотрим системы:Первая: $\begin{cases} x + y + 1 = 0 \\ 3x - 2y - 2 = 0 \end{cases}$ и Вторая: $\begin{cases} y = 1 - x \\ 5x - 4 = 0 \end{cases}$.

Системы уравнений равносильны, если множества их решений совпадают. Найдем решения для каждой системы, чтобы сравнить их.

Решение первой системы: из первого уравнения $x+y+1=0$ выразим $y = -x-1$. Подставим во второе уравнение: $3x-2(-x-1)-2=0 \implies 3x+2x+2-2=0 \implies 5x=0 \implies x=0$. Тогда $y=-0-1=-1$. Решение первой системы: $(0, -1)$.

Решение второй системы: из второго уравнения $5x-4=0$ находим $x=\frac{4}{5}$. Подставим в первое уравнение: $y=1-x=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$. Решение второй системы: $(\frac{4}{5}, \frac{1}{5})$.

Поскольку решения систем различны ($(0, -1) \neq (\frac{4}{5}, \frac{1}{5})$), системы не являются равносильными.

Ответ: системы не равносильны.