Номер 707, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 707, страница 198.

Условие.

707. а) Какие два уравнения называют равносильными?

б) Сформулируйте утверждения о равносильности линейных уравнений.

в) Какие две системы уравнений называют равносильными?

г) Сформулируйте утверждения о равносильности систем уравнений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Какие два уравнения называют равносильными?

Два уравнения с одной или несколькими переменными называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Иными словами, каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. Также равносильными считаются уравнения, которые не имеют корней.

Например, уравнения $x + 3 = 7$ и $2x = 8$ равносильны, так как оба имеют единственный корень $x = 4$.

Ответ: Равносильными называют два уравнения, имеющие одинаковые множества решений.

б) Сформулируйте утверждения о равносильности линейных уравнений.

При решении уравнений используются преобразования, которые заменяют исходное уравнение более простым, но равносильным ему. Эти преобразования основаны на следующих утверждениях о равносильности:

Утверждение 1: Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное исходному. Например, уравнение $ax + b = c$ равносильно уравнению $ax = c - b$.

Утверждение 2: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное исходному. Например, уравнение $ax = b$ при $a \neq 0$ равносильно уравнению $x = \frac{b}{a}$.

Эти два правила являются основными при решении линейных уравнений и позволяют свести любое линейное уравнение к простейшему виду, сохранив при этом множество его корней.

Ответ: Основные утверждения о равносильности линейных уравнений заключаются в том, что перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака и умножение/деление обеих частей на одно и то же ненулевое число приводят к равносильному уравнению.

в) Какие две системы уравнений называют равносильными?

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Решением системы уравнений с $n$ переменными называется упорядоченный набор из $n$ чисел, который при подстановке в каждое уравнение системы обращает его в верное числовое равенство.

Таким образом, если любое решение первой системы является решением второй системы, и наоборот, то такие системы равносильны. Системы, не имеющие решений, также считаются равносильными.

Ответ: Равносильными называют две системы уравнений, имеющие одинаковые множества решений.

г) Сформулируйте утверждения о равносильности систем уравнений.

Равносильные преобразования систем уравнений позволяют заменять одну систему другой, более простой, но имеющей то же самое множество решений. Основные утверждения (или свойства) равносильности систем:

Утверждение 1: Если в системе поменять местами любые два уравнения, то полученная система будет равносильна исходной.

Утверждение 2: Если одно из уравнений системы заменить на равносильное ему уравнение, то полученная система будет равносильна исходной. Например, можно умножить обе части одного из уравнений на число, не равное нулю.

Утверждение 3 (Метод подстановки): Если из одного уравнения системы выразить одну переменную через другие и подставить полученное выражение в остальные уравнения системы, то новая система, состоящая из этих новых уравнений и уравнения, из которого выражали переменную, будет равносильна исходной. Например, система $\begin{cases} y = f(x) \\ g(x, y) = 0 \end{cases}$ равносильна системе $\begin{cases} y = f(x) \\ g(x, f(x)) = 0 \end{cases}$.

Утверждение 4 (Метод сложения): Если к обеим частям одного уравнения системы прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на любое число, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная система будет равносильна исходной. Например, система из двух уравнений $E_1$ и $E_2$ равносильна системе, в которой уравнение $E_2$ заменено на $E_2 + k \cdot E_1$ для любого числа $k$.

Ответ: Утверждения о равносильности систем уравнений описывают преобразования (замена уравнения равносильным, перестановка уравнений, подстановка одной переменной из одного уравнения в другое, сложение уравнений), которые не изменяют множество решений системы.