Страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

740. Норма выработки за смену на новом токарном станке на 30 деталей больше, чем на старом. При этом на пяти новых станках можно обработать за смену столько же деталей, сколько за то же время на восьми старых. Какова норма выработки на новом станке?

Для решения задачи составим уравнение. Обозначим за $x$ норму выработки за смену на старом станке. Тогда, согласно условию, норма выработки на новом станке будет равна $(x + 30)$ деталей, так как она на 30 деталей больше.

Из условия известно, что производительность пяти новых станков за смену равна производительности восьми старых станков за то же время. Можем выразить это в виде равенства:

Суммарная выработка 5 новых станков: $5 \cdot (x + 30)$

Суммарная выработка 8 старых станков: $8 \cdot x$

Приравняем эти два выражения, чтобы составить уравнение:

$5(x + 30) = 8x$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части:

$5x + 150 = 8x$

Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону уравнения, а свободные члены — в другую:

$150 = 8x - 5x$

$150 = 3x$

Найдем $x$, разделив обе части на 3:

$x = \frac{150}{3}$

$x = 50$

Итак, мы нашли норму выработки на старом станке — она составляет 50 деталей за смену. Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти норму выработки на новом станке. Мы определили ее как $(x + 30)$. Подставим найденное значение $x$:

$50 + 30 = 80$

Таким образом, норма выработки на новом станке составляет 80 деталей за смену.

Проверим полученный результат:

Выработка 5 новых станков: $5 \cdot 80 = 400$ деталей.

Выработка 8 старых станков: $8 \cdot 50 = 400$ деталей.

Поскольку $400 = 400$, решение верно.

Ответ: норма выработки на новом станке — 80 деталей.

741. Если из одного пункта одновременно и в одном направлении выедут мотоциклист и велосипедист, то через 1 ч мотоциклист обгонит велосипедиста на 33 км. Если же они одновременно выедут в противоположных направлениях, то через 1 ч расстояние между ними будет равно 57 км. Можно ли узнать скорости велосипедиста и мотоциклиста? Если можно, то узнайте.

Да, скорости велосипедиста и мотоциклиста узнать можно. Для решения этой задачи нужно составить систему уравнений на основе данных из условия.

Пусть $v_м$ — это скорость мотоциклиста (в км/ч), а $v_в$ — это скорость велосипедиста (в км/ч).

1. Движение в одном направлении

Когда мотоциклист и велосипедист едут в одном направлении из одной точки, мотоциклист удаляется от велосипедиста со скоростью, равной разности их скоростей. Эта скорость называется скоростью удаления. За 1 час мотоциклист обгоняет велосипедиста на 33 км. Это означает, что разность расстояний, которые они проехали за 1 час, равна 33 км.

Расстояние, которое проехал мотоциклист за 1 час: $S_м = v_м \cdot 1 = v_м$.

Расстояние, которое проехал велосипедист за 1 час: $S_в = v_в \cdot 1 = v_в$.

Разница в расстоянии: $S_м - S_в = 33$ км.

Таким образом, мы получаем первое уравнение:

$v_м - v_в = 33$

2. Движение в противоположных направлениях

Когда они едут в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной сумме их скоростей. Через 1 час расстояние между ними стало 57 км.

Суммарное расстояние, на которое они удалились друг от друга, равно сумме расстояний, пройденных каждым из них:

$S_м + S_в = 57$ км.

Так как время движения равно 1 часу, мы получаем второе уравнение:

$v_м + v_в = 57$

3. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} v_м - v_в = 33 \\ v_м + v_в = 57 \end{cases} $$

Самый простой способ решить эту систему — сложить два уравнения. Это позволит нам исключить переменную $v_в$.

$(v_м - v_в) + (v_м + v_в) = 33 + 57$

$2v_м = 90$

Отсюда находим скорость мотоциклиста:

$v_м = \frac{90}{2} = 45$ (км/ч)

Теперь подставим найденное значение $v_м = 45$ во второе уравнение системы ($v_м + v_в = 57$), чтобы найти скорость велосипедиста:

$45 + v_в = 57$

$v_в = 57 - 45$

$v_в = 12$ (км/ч)

Мы нашли скорости обоих участников движения. Проверим, соответствуют ли они условию задачи.

Разность скоростей: $45 - 12 = 33$ км/ч. За 1 час мотоциклист обгонит велосипедиста на 33 км.

Сумма скоростей: $45 + 12 = 57$ км/ч. При движении в разные стороны за 1 час расстояние между ними станет 57 км.

Все условия выполняются.

Ответ: Да, узнать скорости можно. Скорость мотоциклиста равна 45 км/ч, а скорость велосипедиста — 12 км/ч.

742. Школьники поехали на экскурсию. Обратно они возвращались другим путём, который был на 7 км короче первого. Какова длина каждого пути, если всего в оба конца школьники проехали 41 км?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ км — это длина первого пути (на экскурсию).

Согласно условию, обратный путь был на 7 км короче первого. Следовательно, его длина равна $(x - 7)$ км.

Общее расстояние, которое проехали школьники в оба конца, составляет 41 км. Это сумма длин первого и обратного путей. Составим уравнение:

$x + (x - 7) = 41$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

1. Сначала раскроем скобки и объединим слагаемые с $x$:

$x + x - 7 = 41$

$2x - 7 = 41$

2. Перенесем число -7 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 41 + 7$

$2x = 48$

3. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{48}{2}$

$x = 24$

Итак, длина первого пути составляет 24 км.

Теперь вычислим длину обратного пути, который на 7 км короче:

$24 - 7 = 17$ км.

Для проверки сложим длины обоих путей: $24 \text{ км} + 17 \text{ км} = 41 \text{ км}$. Сумма совпадает с условием задачи.

Ответ: Длина первого пути — 24 км, длина обратного пути — 17 км.

743. В прямоугольнике, периметр которого 52 см, разность длин двух сторон равна 4 см. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим длину и ширину прямоугольника как a и b соответственно. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 52 см, поэтому мы можем составить первое уравнение:
$2(a + b) = 52$
Разделив обе части на 2, получим более простое уравнение:
$a + b = 26$

Второе условие гласит, что разность длин сторон равна 4 см. Предположим, что a — это большая сторона. Тогда второе уравнение будет:
$a - b = 4$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
1) $a + b = 26$
2) $a - b = 4$
Самый простой способ решить эту систему — сложить два уравнения. Это позволит нам исключить переменную b.
$(a + b) + (a - b) = 26 + 4$
$2a = 30$
Отсюда находим a:
$a = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь, когда мы знаем длину одной стороны, мы можем найти вторую, подставив значение a в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:
$15 + b = 26$
$b = 26 - 15$
$b = 11$ см.

Таким образом, мы нашли длины обеих сторон прямоугольника.
Проверка:
Периметр: $2(15 + 11) = 2(26) = 52$ см.
Разность сторон: $15 - 11 = 4$ см.
Оба условия задачи выполнены.

Ответ: стороны прямоугольника равны 15 см и 11 см.

744. Для класса, в котором учатся 30 учеников, купили билеты в театр стоимостью по 100 и 150 р. Сколько было куплено отдельно тех и других билетов, если их общая стоимость составила 3500 р.?

Для решения этой задачи можно использовать систему линейных уравнений. Обозначим количество билетов стоимостью 100 рублей как $x$, а количество билетов стоимостью 150 рублей как $y$.

Всего в классе 30 учеников, значит, общее количество купленных билетов равно 30. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 30$

Общая стоимость всех билетов составила 3500 рублей. Стоимость билетов одного типа равна произведению их количества на цену. Суммируя стоимость билетов обоих типов, получаем второе уравнение:

$100x + 150y = 3500$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 30 \\ 100x + 150y = 3500 \end{cases} $

Для упрощения решения разделим второе уравнение на 50:

$ \begin{cases} x + y = 30 \\ 2x + 3y = 70 \end{cases} $

Теперь решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 30 - y$

Подставим это выражение во второе (упрощенное) уравнение:

$2(30 - y) + 3y = 70$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$60 - 2y + 3y = 70$

$y = 70 - 60$

$y = 10$

Мы нашли, что было куплено 10 билетов по 150 рублей.

Теперь найдем количество билетов по 100 рублей, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 30 - 10$

$x = 20$

Следовательно, было куплено 20 билетов по 100 рублей.

Проверим результат: $20$ билетов по 100 р. и $10$ билетов по 150 р. — это $20 + 10 = 30$ билетов. Их общая стоимость: $20 \times 100 + 10 \times 150 = 2000 + 1500 = 3500$ рублей. Условия задачи выполнены.

Ответ: было куплено 20 билетов по 100 рублей и 10 билетов по 150 рублей.

745. Школа приобрела 4 кресла и 2 стола, заплатив за них 36 000 р. Если бы было куплено 2 кресла и 3 стола, то вся покупка стоила бы на 14 000 р. меньше. Сколько стоят кресло и стол в отдельности?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это стоимость одного кресла в рублях, а $y$ — стоимость одного стола в рублях.

Согласно первому условию, школа приобрела 4 кресла и 2 стола за 36 000 рублей. Это можно выразить уравнением:
$4x + 2y = 36000$

Согласно второму условию, если бы было куплено 2 кресла и 3 стола, то покупка стоила бы на 14 000 рублей меньше. Это означает, что стоимость второй покупки составила бы $36000 - 14000 = 22000$ рублей. Это можно выразить вторым уравнением:
$2x + 3y = 22000$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 4x + 2y = 36000 \\ 2x + 3y = 22000 \end{cases}$

Для упрощения решения разделим обе части первого уравнения на 2:
$\frac{4x + 2y}{2} = \frac{36000}{2}$
$2x + y = 18000$

Теперь наша система выглядит так:
$\begin{cases} 2x + y = 18000 \\ 2x + 3y = 22000 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $x$ и найти $y$:
$(2x + 3y) - (2x + y) = 22000 - 18000$
$2y = 4000$
$y = \frac{4000}{2}$
$y = 2000$

Итак, стоимость одного стола составляет 2 000 рублей.

Теперь подставим найденное значение $y = 2000$ в упрощенное первое уравнение ($2x + y = 18000$), чтобы найти стоимость кресла $x$:
$2x + 2000 = 18000$
$2x = 18000 - 2000$
$2x = 16000$
$x = \frac{16000}{2}$
$x = 8000$

Таким образом, стоимость одного кресла составляет 8 000 рублей.

Выполним проверку.
Стоимость первой покупки: $4 \cdot 8000 \text{ р.} + 2 \cdot 2000 \text{ р.} = 32000 + 4000 = 36000$ р. Условие выполняется.
Стоимость второй покупки: $2 \cdot 8000 \text{ р.} + 3 \cdot 2000 \text{ р.} = 16000 + 6000 = 22000$ р. Эта сумма действительно на $36000 - 22000 = 14000$ р. меньше. Условие выполняется.

Ответ: одно кресло стоит 8 000 рублей, а один стол стоит 2 000 рублей.

746. Рассчитываясь за покупку, мальчик получил сдачи 70 р. монетами достоинством 5 р. и 10 р. Всего он получил 10 монет. Сколько монет достоинством 5 р. он получил?

Для решения этой задачи можно использовать систему уравнений. Обозначим количество монет достоинством 5 рублей за $x$, а количество монет достоинством 10 рублей — за $y$.

Согласно условию, всего мальчик получил 10 монет. Это можно выразить первым уравнением:

$x + y = 10$

Общая сумма сдачи составила 70 рублей. Сумма от пятирублевых монет равна $5x$, а от десятирублевых — $10y$. Это дает нам второе уравнение:

$5x + 10y = 70$

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 10 \\ 5x + 10y = 70 \end{cases}$

Есть несколько способов решить эту систему. Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 10 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$5x + 10(10 - x) = 70$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$5x + 100 - 10x = 70$

Приведем подобные слагаемые:

$100 - 5x = 70$

Перенесем 70 влево, а $5x$ вправо:

$100 - 70 = 5x$

$30 = 5x$

Найдем $x$:

$x = \frac{30}{5}$

$x = 6$

Таким образом, количество пятирублевых монет равно 6.

Для проверки можно найти количество десятирублевых монет: $y = 10 - x = 10 - 6 = 4$.
Проверим общую сумму: $6 \cdot 5 \text{ р.} + 4 \cdot 10 \text{ р.} = 30 \text{ р.} + 40 \text{ р.} = 70 \text{ р.}$.
Общее количество монет: $6 + 4 = 10$.
Расчеты верны.

Ответ: 6 монет.

747. Сумма двух натуральных чисел равна 31, а разность равна 5. Найдите эти числа.

Для решения этой задачи введем две переменные. Пусть первое натуральное число будет $x$, а второе — $y$. Предположим, что $x$ больше $y$.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему из двух линейных уравнений:

1. Сумма чисел равна 31: $x + y = 31$

2. Разность чисел равна 5: $x - y = 5$

Таким образом, у нас есть система:

$ \begin{cases} x + y = 31 \\ x - y = 5 \end{cases} $

Самый простой способ решить эту систему — сложить оба уравнения. При сложении переменная $y$ сократится:

$(x + y) + (x - y) = 31 + 5$

$2x = 36$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{36}{2}$

$x = 18$

Мы нашли первое число. Чтобы найти второе число, подставим значение $x=18$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:

$18 + y = 31$

Выразим $y$:

$y = 31 - 18$

$y = 13$

Итак, мы нашли оба числа: 18 и 13. Проверим, соответствуют ли они условиям задачи:

Сумма: $18 + 13 = 31$. (Верно)

Разность: $18 - 13 = 5$. (Верно)

Оба числа являются натуральными.

Ответ: 18 и 13.

748. Два куска одинаковой ткани стоят вместе 9100 р. Когда из первого куска продали столько, сколько было первоначально во втором, а из второго — половину того, что было первоначально в первом, то остаток первого куска оказался на 10 м больше остатка второго куска. Сколько метров ткани было в каждом куске, если 1 м ткани стоит 140 р.?

Для решения задачи составим систему уравнений. Но для начала найдем общую длину ткани в двух кусках. Зная, что общая стоимость составляет 9100 р., а цена 1 метра — 140 р., можем вычислить общую длину:

$9100 \text{ р.} \div 140 \text{ р./м} = 65 \text{ м}$

Теперь введем переменные:

• Пусть $x$ — первоначальная длина первого куска ткани в метрах.
• Пусть $y$ — первоначальная длина второго куска ткани в метрах.

Исходя из общей длины, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 65$

Далее, проанализируем условие о продаже ткани:

• Из первого куска продали столько, сколько было во втором, то есть $y$ метров. Остаток в первом куске стал: $x - y$.
• Из второго куска продали половину того, что было в первом, то есть $\frac{x}{2}$ метров. Остаток во втором куске стал: $y - \frac{x}{2}$.

По условию, остаток первого куска оказался на 10 м больше остатка второго. На основе этого составим второе уравнение:

$(x - y) = (y - \frac{x}{2}) + 10$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 65 \\ x - y = y - \frac{x}{2} + 10 \end{cases} $

Упростим второе уравнение:

$x - y - y + \frac{x}{2} = 10$

$x + \frac{x}{2} - 2y = 10$

$\frac{2x+x}{2} - 2y = 10$

$\frac{3x}{2} - 2y = 10$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$3x - 4y = 20$

Теперь наша система выглядит так:

$ \begin{cases} x + y = 65 \\ 3x - 4y = 20 \end{cases} $

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 65 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(65 - y) - 4y = 20$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$195 - 3y - 4y = 20$

$195 - 7y = 20$

$7y = 195 - 20$

$7y = 175$

$y = 175 \div 7$

$y = 25$

Таким образом, первоначальная длина второго куска ткани — 25 метров.

Теперь найдем длину первого куска, подставив значение $y$ в выражение $x = 65 - y$:

$x = 65 - 25 = 40$

Первоначальная длина первого куска ткани — 40 метров.

Проверим: остаток первого куска $40 - 25 = 15$ м. Остаток второго куска $25 - \frac{40}{2} = 25 - 20 = 5$ м. Разница $15 - 5 = 10$ м, что соответствует условию.

Ответ: первоначально в первом куске было 40 метров ткани, а во втором — 25 метров.

749. Две бригады школьников во время производственной практики заработали 11 700 р. Первая работала 15 дней, вторая — 14 дней. Сколько зарабатывала каждая бригада в день, если первая за 4 дня заработала на 1100 р. больше, чем вторая за 3 дня? Какое допущение необходимо сделать для решения задачи?

Сколько зарабатывала каждая бригада в день?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $x$ — это дневной заработок первой бригады в рублях.
• Пусть $y$ — это дневной заработок второй бригады в рублях.

Исходя из условий задачи, составим систему из двух уравнений.

Первое уравнение основано на общем заработке. Первая бригада работала 15 дней и заработала $15x$ рублей. Вторая бригада работала 14 дней и заработала $14y$ рублей. Вместе они заработали 11 700 рублей:

$15x + 14y = 11700$

Второе уравнение основано на сравнении их заработков за разные периоды. Первая бригада за 4 дня заработала $4x$ рублей, а вторая за 3 дня — $3y$ рублей. По условию, заработок первой бригады на 1100 рублей больше:

$4x = 3y + 1100$

Приведем второе уравнение к стандартному виду:

$4x - 3y = 1100$

Теперь у нас есть система уравнений:

$ \begin{cases} 15x + 14y = 11700 \\ 4x - 3y = 1100 \end{cases} $

Решим эту систему методом сложения. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на 14, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$ \begin{cases} (15x + 14y) \cdot 3 = 11700 \cdot 3 \\ (4x - 3y) \cdot 14 = 1100 \cdot 14 \end{cases} $

$ \begin{cases} 45x + 42y = 35100 \\ 56x - 42y = 15400 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(45x + 42y) + (56x - 42y) = 35100 + 15400$

$101x = 50500$

Найдем $x$:

$x = \frac{50500}{101} = 500$

Итак, первая бригада зарабатывала 500 рублей в день.

Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение ($4x - 3y = 1100$), чтобы найти $y$:

$4(500) - 3y = 1100$

$2000 - 3y = 1100$

$3y = 2000 - 1100$

$3y = 900$

$y = \frac{900}{3} = 300$

Итак, вторая бригада зарабатывала 300 рублей в день.

Проверим найденные значения, подставив их в первое исходное уравнение:

$15(500) + 14(300) = 7500 + 4200 = 11700$

Равенство верное, значит, задача решена правильно.

Ответ: первая бригада зарабатывала 500 рублей в день, а вторая — 300 рублей в день.

Какое допущение необходимо сделать для решения задачи?

Для того чтобы можно было составить и решить систему уравнений, необходимо сделать допущение, что производительность труда (и, соответственно, дневной заработок) каждой бригады была постоянной в течение всего периода производственной практики. То есть, первая бригада каждый день зарабатывала одну и ту же сумму, и вторая бригада также зарабатывала одинаковую сумму каждый день своей работы.

Ответ: необходимо допустить, что дневной заработок каждой бригады был постоянной величиной на протяжении всего времени работы.