Страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

769. Задача Джан Цзюцзяня (Китай, V в.). 1 петух стоит 5 цяней (денежных единиц), 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыплёнка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим количество петухов как $x$, количество кур как $y$, и количество цыплят как $z$.

Условия задачи можно выразить двумя уравнениями:

1. Уравнение по количеству птиц: всего 100 птиц.
$x + y + z = 100$

2. Уравнение по стоимости: общая стоимость 100 цяней.Стоимость одного петуха – 5 цяней, одной курицы – 3 цяня. Так как 3 цыплёнка стоят 1 цянь, то один цыплёнок стоит $\frac{1}{3}$ цяня.
$5x + 3y + \frac{z}{3} = 100$

Чтобы избавиться от дроби во втором уравнении, умножим все его члены на 3:
$15x + 9y + z = 300$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $x + y + z = 100$
2) $15x + 9y + z = 300$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $z$:
$(15x + 9y + z) - (x + y + z) = 300 - 100$
$14x + 8y = 200$

Разделим обе части полученного уравнения на 2:
$7x + 4y = 100$

Теперь нам нужно найти решения этого уравнения в целых неотрицательных числах ($x \ge 0$, $y \ge 0$). Выразим $y$ через $x$:
$4y = 100 - 7x$
$y = \frac{100 - 7x}{4} = 25 - \frac{7x}{4}$

Поскольку $y$ должен быть целым числом, выражение $\frac{7x}{4}$ также должно быть целым. Так как 7 и 4 являются взаимно простыми числами, $x$ должен быть кратен 4. Кроме того, количество птиц не может быть отрицательным, поэтому $y \ge 0$.

$25 - \frac{7x}{4} \ge 0 \implies 25 \ge \frac{7x}{4} \implies 100 \ge 7x \implies x \le \frac{100}{7} \approx 14.28$

Итак, $x$ должен быть неотрицательным целым числом, кратным 4, и не превышать 14. Возможные значения для $x$: 0, 4, 8, 12. Рассмотрим каждый из этих случаев.

Случай 1: $x = 0$
$y = 25 - \frac{7 \cdot 0}{4} = 25$
$z = 100 - x - y = 100 - 0 - 25 = 75$
Проверка стоимости: $5 \cdot 0 + 3 \cdot 25 + \frac{75}{3} = 0 + 75 + 25 = 100$.
Решение: 0 петухов, 25 кур, 75 цыплят.

Случай 2: $x = 4$
$y = 25 - \frac{7 \cdot 4}{4} = 25 - 7 = 18$
$z = 100 - x - y = 100 - 4 - 18 = 78$
Проверка стоимости: $5 \cdot 4 + 3 \cdot 18 + \frac{78}{3} = 20 + 54 + 26 = 100$.
Решение: 4 петуха, 18 кур, 78 цыплят.

Случай 3: $x = 8$
$y = 25 - \frac{7 \cdot 8}{4} = 25 - 14 = 11$
$z = 100 - x - y = 100 - 8 - 11 = 81$
Проверка стоимости: $5 \cdot 8 + 3 \cdot 11 + \frac{81}{3} = 40 + 33 + 27 = 100$.
Решение: 8 петухов, 11 кур, 81 цыплёнок.

Случай 4: $x = 12$
$y = 25 - \frac{7 \cdot 12}{4} = 25 - 21 = 4$
$z = 100 - x - y = 100 - 12 - 4 = 84$
Проверка стоимости: $5 \cdot 12 + 3 \cdot 4 + \frac{84}{3} = 60 + 12 + 28 = 100$.
Решение: 12 петухов, 4 курицы, 84 цыплёнка.

Таким образом, задача имеет четыре возможных решения в целых неотрицательных числах.

Ответ:
Задача имеет следующие возможные решения:
1. Петухов: 0, кур: 25, цыплят: 75.
2. Петухов: 4, кур: 18, цыплят: 78.
3. Петухов: 8, кур: 11, цыплят: 81.
4. Петухов: 12, кур: 4, цыплят: 84.

770. Задача Адама Ризе (XVI в.). 26 персон издержали вместе 88 марок, причём мужчины издержали по 6 марок, женщины — по 4, девушки — по 2. Сколько было мужчин, женщин и девушек?

Для решения этой задачи введем переменные:

Пусть $x$ — количество мужчин,
$y$ — количество женщин,
$z$ — количество девушек.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух линейных уравнений с тремя неизвестными.

Первое уравнение основано на общем количестве персон (26 человек): $x + y + z = 26$

Второе уравнение основано на общей сумме издержанных денег (88 марок): $6x + 4y + 2z = 88$

Поскольку количество людей должно быть целым и неотрицательным числом, нам нужно найти целочисленные решения этой системы ($x, y, z \in \mathbb{Z}$ и $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$).

Упростим второе уравнение, разделив все его члены на 2: $3x + 2y + z = 44$

Теперь наша система выглядит так:
1) $x + y + z = 26$
2) $3x + 2y + z = 44$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $z$:
$(3x + 2y + z) - (x + y + z) = 44 - 26$
$2x + y = 18$

Из этого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 18 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение ($x + y + z = 26$), чтобы выразить $z$ через $x$:
$x + (18 - 2x) + z = 26$
$18 - x + z = 26$
$z = 26 - 18 + x$
$z = 8 + x$

Мы получили выражения для $y$ и $z$ через $x$. Теперь найдем возможные значения для $x$, учитывая, что $x, y, z$ должны быть неотрицательными целыми числами.

Условие $y \ge 0$ дает нам:
$18 - 2x \ge 0$
$18 \ge 2x$
$9 \ge x$

Условие $z \ge 0$ дает нам:
$8 + x \ge 0$, что всегда верно для любого неотрицательного $x$.

Таким образом, переменная $x$ (количество мужчин) может принимать любое целое значение от 0 до 9 включительно. Это означает, что задача имеет несколько решений. Найдем все возможные комбинации.

Возможные решения:

1. Если мужчин $x = 0$, то женщин $y = 18 - 2(0) = 18$, а девушек $z = 8 + 0 = 8$.
(0 мужчин, 18 женщин, 8 девушек)

2. Если мужчин $x = 1$, то женщин $y = 18 - 2(1) = 16$, а девушек $z = 8 + 1 = 9$.
(1 мужчина, 16 женщин, 9 девушек)

3. Если мужчин $x = 2$, то женщин $y = 18 - 2(2) = 14$, а девушек $z = 8 + 2 = 10$.
(2 мужчины, 14 женщин, 10 девушек)

4. Если мужчин $x = 3$, то женщин $y = 18 - 2(3) = 12$, а девушек $z = 8 + 3 = 11$.
(3 мужчины, 12 женщин, 11 девушек)

5. Если мужчин $x = 4$, то женщин $y = 18 - 2(4) = 10$, а девушек $z = 8 + 4 = 12$.
(4 мужчины, 10 женщин, 12 девушек)

6. Если мужчин $x = 5$, то женщин $y = 18 - 2(5) = 8$, а девушек $z = 8 + 5 = 13$.
(5 мужчин, 8 женщин, 13 девушек)

7. Если мужчин $x = 6$, то женщин $y = 18 - 2(6) = 6$, а девушек $z = 8 + 6 = 14$.
(6 мужчин, 6 женщин, 14 девушек)

8. Если мужчин $x = 7$, то женщин $y = 18 - 2(7) = 4$, а девушек $z = 8 + 7 = 15$.
(7 мужчин, 4 женщины, 15 девушек)

9. Если мужчин $x = 8$, то женщин $y = 18 - 2(8) = 2$, а девушек $z = 8 + 8 = 16$.
(8 мужчин, 2 женщины, 16 девушек)

10. Если мужчин $x = 9$, то женщин $y = 18 - 2(9) = 0$, а девушек $z = 8 + 9 = 17$.
(9 мужчин, 0 женщин, 17 девушек)

Каждая из этих 10 комбинаций удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: Задача является неопределенной и имеет 10 возможных решений. Количество мужчин, женщин и девушек могло быть одним из следующих:

0 мужчин, 18 женщин, 8 девушек;
1 мужчина, 16 женщин, 9 девушек;
2 мужчины, 14 женщин, 10 девушек;
3 мужчины, 12 женщин, 11 девушек;
4 мужчины, 10 женщин, 12 девушек;
5 мужчин, 8 женщин, 13 девушек;
6 мужчин, 6 женщин, 14 девушек;
7 мужчин, 4 женщины, 15 девушек;
8 мужчин, 2 женщины, 16 девушек;
9 мужчин, 0 женщин, 17 девушек.

771. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Купил некто на 80 алтын гусей, уток и чирков. Гуся покупал по 2 алтына, утку — по 1 алтыну, чирка же — по 3 деньги, а всех куплено 80 птиц. Спрашивается, сколько каких птиц он купил. ($1 \text{ алтын} = 3 \text{ к.}$, $1 \text{ деньга} = 0,5 \text{ к.}$)

Для решения этой задачи введем переменные:

• пусть $g$ — количество купленных гусей;
• пусть $u$ — количество купленных уток;
• пусть $c$ — количество купленных чирков.

Сначала переведем все цены в единую валюту — копейки, используя соотношения из условия: 1 алтын = 3 копейки, 1 деньга = 0,5 копейки.

• Общая сумма покупки: $80 \text{ алтын} = 80 \times 3 = 240 \text{ копеек}$.
• Цена одного гуся: $2 \text{ алтына} = 2 \times 3 = 6 \text{ копеек}$.
• Цена одной утки: $1 \text{ алтын} = 1 \times 3 = 3 \text{ копейки}$.
• Цена одного чирка: $3 \text{ деньги} = 3 \times 0.5 = 1.5 \text{ копейки}$.

Теперь составим систему уравнений на основе условий задачи.

Первое уравнение — общее количество птиц:

$g + u + c = 80$

Второе уравнение — общая стоимость всех птиц в копейках:

$6g + 3u + 1.5c = 240$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Чтобы упростить второе уравнение, умножим его на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$12g + 6u + 3c = 480$

Теперь разделим все члены этого уравнения на 3:

$4g + 2u + c = 160$

Итак, наша система уравнений выглядит так:

$ \begin{cases} g + u + c = 80 \\ 4g + 2u + c = 160 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $c$:

$(4g + 2u + c) - (g + u + c) = 160 - 80$

$3g + u = 80$

Из этого уравнения можно выразить количество уток $u$ через количество гусей $g$:

$u = 80 - 3g$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение исходной системы, чтобы найти зависимость для $c$:

$g + (80 - 3g) + c = 80$

$-2g + 80 + c = 80$

$c = 2g$

Таким образом, мы нашли общее решение: количество уток и чирков выражается через количество гусей. Поскольку количество птиц каждого вида должно быть целым и положительным числом (условие "купил ... гусей, уток и чирков" подразумевает, что был куплен хотя бы один экземпляр каждого вида), наложим следующие ограничения:

• $g > 0$
• $u > 0 \implies 80 - 3g > 0 \implies 3g < 80 \implies g < \frac{80}{3} \implies g \le 26$
• $c > 0 \implies 2g > 0 \implies g > 0$

Объединяя эти условия, получаем, что количество гусей $g$ может быть любым целым числом от 1 до 26 включительно. Это означает, что задача имеет не одно, а 26 различных решений.

Например, приведем два возможных варианта:

1. Если $g = 20$, то $u = 80 - 3 \times 20 = 20$ и $c = 2 \times 20 = 40$.
   Проверка: $20+20+40 = 80$ птиц. Стоимость: $6 \times 20 + 3 \times 20 + 1.5 \times 40 = 120 + 60 + 60 = 240$ копеек.
2. Если $g = 15$, то $u = 80 - 3 \times 15 = 35$ и $c = 2 \times 15 = 30$.
   Проверка: $15+35+30 = 80$ птиц. Стоимость: $6 \times 15 + 3 \times 35 + 1.5 \times 30 = 90 + 105 + 45 = 240$ копеек.

Ответ: Задача имеет 26 возможных решений. Количество купленных птиц определяется по формулам: $u = 80 - 3g$ и $c = 2g$, где $g$ (количество гусей) — любое целое число от 1 до 26. Например, можно было купить 20 гусей, 20 уток и 40 чирков.

772. Старинная задача. Хозяин послал работника на базар купить 20 птиц: гусей, уток и малых чирков. Он дал работнику 16 алтын. Гусей велел покупать по 3 копейки за штуку, уток — по копейке, а малых чирков — по два на копейку. Сколько гусей, уток и чирков купил работник?

Для решения задачи введем переменные: Г — количество купленных гусей, У — количество купленных уток, Ч — количество купленных малых чирков.

Согласно условию, всего необходимо купить 20 птиц. Это дает нам первое уравнение:

$Г + У + Ч = 20$

Далее определим общую сумму денег. Работнику дали 16 алтын. В старинной русской денежной системе 1 алтын равен 3 копейкам. Следовательно, общая сумма составляет:

$16 \times 3 = 48$ копеек.

Стоимость гусей составляла 3 копейки за штуку, уток — 1 копейку за штуку, а малых чирков — 2 штуки на 1 копейку, что равно $1/2$ копейки за одного чирка. Составим второе уравнение, исходя из общей стоимости покупки:

$3Г + 1У + \frac{1}{2}Ч = 48$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с тремя неизвестными, которую нужно решить в целых положительных числах (так как нужно купить птиц каждого вида):

$\begin{cases} Г + У + Ч = 20 \\ 3Г + У + \frac{Ч}{2} = 48 \end{cases}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим второе уравнение на 2:

$6Г + 2У + Ч = 96$

Теперь вычтем первое уравнение ($Г + У + Ч = 20$) из полученного нового уравнения:

$(6Г + 2У + Ч) - (Г + У + Ч) = 96 - 20$

$5Г + У = 76$

Из этого уравнения выразим У:

$У = 76 - 5Г$

Поскольку количество уток У должно быть целым положительным числом ($У \ge 1$), получаем неравенство:

$76 - 5Г \ge 1 \implies 75 \ge 5Г \implies Г \le 15$

Теперь выразим Ч через Г. Из первого уравнения $Ч = 20 - Г - У$. Подставим в него выражение для У, которое мы нашли ($У = 76 - 5Г$):

$Ч = 20 - Г - (76 - 5Г) = 20 - Г - 76 + 5Г = 4Г - 56$

Количество чирков Ч также должно быть целым положительным числом ($Ч \ge 1$):

$4Г - 56 \ge 1 \implies 4Г \ge 57 \implies Г \ge 14.25$

Мы получили два условия для количества гусей Г: $Г \le 15$ и $Г \ge 14.25$. Единственное целое число, удовлетворяющее этим условиям, — это $Г = 15$.

Теперь, когда мы знаем Г, найдем У и Ч:

$У = 76 - 5 \times 15 = 76 - 75 = 1$

$Ч = 4 \times 15 - 56 = 60 - 56 = 4$

Проверим, выполняются ли исходные условия задачи: общее количество птиц равно $15 + 1 + 4 = 20$, а их общая стоимость равна $15 \times 3 + 1 \times 1 + 4 \times \frac{1}{2} = 45 + 1 + 2 = 48$ копеек. Все условия соблюдены.

Ответ: работник купил 15 гусей, 1 утку и 4 малых чирка.

773. Ищем информацию.

Используя учебник, справочную литературу и Интернет, подготовьте сообщение о Диофанте и задачах из его «Арифметики».

Диофант Александрийский — древнегреческий математик, живший в III веке нашей эры, которого часто называют «отцом алгебры». Его главный труд, «Арифметика», оказал огромное влияние на развитие теории чисел и алгебры.

О жизни Диофанта известно крайне мало. Он жил и работал в Александрии Египетской, предположительно в период между 200 и 298 годами н.э. Единственным источником биографических сведений является стихотворная загадка-эпитафия, которая, согласно преданию, была на его надгробии. Эта задача позволяет вычислить продолжительность его жизни.

Текст эпитафии в прозаическом пересказе звучит так: «Прах Диофанта гробница покоит. Шестую часть его жизни заняло детство, двенадцатую — юность. После седьмой части, проведенной в браке, и еще пяти лет у него родился сын. Сын прожил вдвое меньше отца. Через четыре года после смерти сына в глубокой скорби скончался и сам Диофант».

Решим эту задачу. Пусть $x$ — количество лет, которые прожил Диофант. Составим уравнение на основе эпитафии:

Детство: $\frac{x}{6}$

Юность: $\frac{x}{12}$

Бездетный брак: $\frac{x}{7}$

До рождения сына: 5 лет

Жизнь сына: $\frac{x}{2}$

Годы после смерти сына: 4 года

Сумма всех этих периодов равна полной жизни Диофанта:

$x = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4$

Сгруппируем слагаемые:

$x = (\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{7} + \frac{1}{2})x + 9$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 84:

$x = (\frac{14}{84} + \frac{7}{84} + \frac{12}{84} + \frac{42}{84})x + 9$

$x = \frac{75}{84}x + 9$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:

$x - \frac{75}{84}x = 9$

$\frac{9}{84}x = 9$

$x = 84$

Ответ: Диофант прожил 84 года.

«Арифметика» — это главный труд Диофанта, представляющий собой сборник из 13 книг, посвященных решению алгебраических задач. К сожалению, до наших дней дошли только 10 из них: 6 в оригинале на греческом языке и 4 в арабском переводе. В этом труде Диофант ввел элементы алгебраической символики, что стало огромным шагом вперед по сравнению с «риторической алгеброй» его предшественников, где все выкладки описывались словами. Он использовал специальные символы для неизвестной величины и ее степеней, а также для знака вычитания и равенства. Основное внимание в «Арифметике» уделяется поиску положительных рациональных решений для неопределенных уравнений — уравнений с несколькими переменными. В честь него такие уравнения (когда решения ищутся в целых или рациональных числах) сегодня называют диофантовыми уравнениями. Именно на полях «Арифметики» Диофанта французский математик Пьер де Ферма сформулировал свою знаменитую Великую теорему.

«Арифметика» содержит множество разнообразных задач. Вот несколько примеров, демонстрирующих методы Диофанта.

Задача 1 (Книга I, задача 27): Найти два числа по их сумме и произведению.
Условие: Найти два числа, сумма которых равна 20, а произведение — 96.
Решение: Диофант предлагает оригинальный метод. Пусть сумма чисел равна $2a=20$, тогда $a=10$. Он представляет искомые числа в виде $a+z$ и $a-z$, то есть $10+z$ и $10-z$. Их сумма автоматически равна $(10+z) + (10-z) = 20$. Теперь рассмотрим их произведение, которое должно быть равно 96: $(10+z)(10-z) = 96$ По формуле разности квадратов: $10^2 - z^2 = 96$ $100 - z^2 = 96$ $z^2 = 100 - 96 = 4$ $z = 2$ (Диофант искал только положительные решения) Тогда первое число равно $10+z = 10+2 = 12$, а второе — $10-z = 10-2 = 8$.
Ответ: Искомые числа — 12 и 8.

Задача 2 (Книга II, задача 8): Разделить данный квадрат на два других квадрата.
Условие: Разделить число 16 (которое является квадратом 4) на сумму двух квадратов рациональных чисел.
Решение: Мы ищем два рациональных числа $x$ и $y$ такие, что $x^2 + y^2 = 16$. Диофант предлагает положить один из искомых квадратов равным квадрату выражения, содержащего неизвестную, например $z^2$. Тогда второй квадрат должен быть равен $16 - z^2$. Чтобы это выражение тоже было квадратом, Диофант приравнивает его к квадрату другого выражения, например $(kz-4)^2$, где $k$ — произвольно выбранное рациональное число. Выберем, как это часто делал Диофант, $k=2$. Получаем уравнение: $16 - z^2 = (2z - 4)^2$ $16 - z^2 = 4z^2 - 16z + 16$ $-z^2 = 4z^2 - 16z$ Перенесем все в одну сторону (и считая $z \ne 0$): $5z^2 = 16z$ $5z = 16 \implies z = \frac{16}{5}$ Итак, одно из чисел найдено: $x=z=\frac{16}{5}$. Его квадрат: $x^2 = (\frac{16}{5})^2 = \frac{256}{25}$. Второй квадрат равен $y^2 = 16 - x^2 = 16 - \frac{256}{25} = \frac{400 - 256}{25} = \frac{144}{25}$. Соответственно, второе число $y = \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}$. Проверка: $(\frac{16}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2 = \frac{256}{25} + \frac{144}{25} = \frac{400}{25} = 16$.
Ответ: Число 16 можно представить в виде суммы квадратов чисел $\frac{16}{5}$ и $\frac{12}{5}$.