Страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

778. Определите порядок действий, найдите значение выражения:

а) $672 : 42 + 21 \cdot 39$;

б) $989 : 43 - 912 : 48$;

в) $(720 - 695) \cdot (975 : 25)$;

г) $(109 + 839) : (312 - 233)$;

д) $65254 : 79 - 75563 : 97$;

е) $37115 : 65 + 72675 : 85$;

ж) $407 \cdot 720 - 350 \cdot 509 - 43272 : 72$;

з) $564 \cdot 702 - 164 \cdot 756 + 148 \cdot 916 - 48762 : 86$;

и) $8694 : (4096 - (1458 + 2316))$;

к) $18072 : (6013 - 23 \cdot 65)$.

а) $672 : 42 + 21 \cdot 39$
Порядок действий: сначала выполняются деление и умножение (слева направо), затем сложение.
1) $672 : 42 = 16$
2) $21 \cdot 39 = 819$
3) $16 + 819 = 835$
Ответ: 835

б) $989 : 43 - 912 : 48$
Порядок действий: сначала выполняются операции деления (слева направо), затем вычитание.
1) $989 : 43 = 23$
2) $912 : 48 = 19$
3) $23 - 19 = 4$
Ответ: 4

в) $(720 - 695) \cdot (975 : 25)$
Порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение результатов.
1) $720 - 695 = 25$
2) $975 : 25 = 39$
3) $25 \cdot 39 = 975$
Ответ: 975

г) $(109 + 839) : (312 - 233)$
Порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем деление результатов.
1) $109 + 839 = 948$
2) $312 - 233 = 79$
3) $948 : 79 = 12$
Ответ: 12

д) $65 254 : 79 - 75 563 : 97$
Порядок действий: сначала выполняются операции деления (слева направо), затем вычитание.
1) $65 254 : 79 = 826$
2) $75 563 : 97 = 779$
3) $826 - 779 = 47$
Ответ: 47

е) $37 115 : 65 + 72 675 : 85$
Порядок действий: сначала выполняются операции деления (слева направо), затем сложение.
1) $37 115 : 65 = 571$
2) $72 675 : 85 = 855$
3) $571 + 855 = 1426$
Ответ: 1426

ж) $407 \cdot 720 - 350 \cdot 509 - 43 272 : 72$
Порядок действий: сначала выполняются умножение и деление (слева направо), затем вычитание (слева направо).
1) $407 \cdot 720 = 293 040$
2) $350 \cdot 509 = 178 150$
3) $43 272 : 72 = 601$
4) $293 040 - 178 150 = 114 890$
5) $114 890 - 601 = 114 289$
Ответ: 114289

з) $564 \cdot 702 - 164 \cdot 756 + 148 \cdot 916 - 48 762 : 86$
Порядок действий: сначала выполняются умножение и деление (слева направо), затем сложение и вычитание (слева направо).
1) $564 \cdot 702 = 395 928$
2) $164 \cdot 756 = 123 984$
3) $148 \cdot 916 = 135 568$
4) $48 762 : 86 = 567$
5) $395 928 - 123 984 = 271 944$
6) $271 944 + 135 568 = 407 512$
7) $407 512 - 567 = 406 945$
Ответ: 406945

и) $8694 : (4096 - (1458 + 2316))$
Порядок действий: сначала выполняется действие во внутренних скобках (сложение), затем во внешних (вычитание), и в конце — деление.
1) $1458 + 2316 = 3774$
2) $4096 - 3774 = 322$
3) $8694 : 322 = 27$
Ответ: 27

к) $18 072 : (6013 - 23 \cdot 65)$
Порядок действий: сначала выполняется действие в скобках. Внутри скобок сначала умножение, затем вычитание. Последним действием выполняется деление.
1) $23 \cdot 65 = 1495$
2) $6013 - 1495 = 4518$
3) $18 072 : 4518 = 4$
Ответ: 4

779. Вычислите:

а) $68 \cdot 48 + 68 \cdot 52$;

б) $59 \cdot 37 + 59 \cdot 63$;

в) $87 \cdot 29 + 87 \cdot 71$;

г) $17 \cdot 73 - 63 \cdot 17$;

д) $382 \cdot 500 - 400 \cdot 382$;

е) $756 \cdot 350 + 756 \cdot 650$;

ж) $352 \cdot 18 : 9$;

з) $748 \cdot 36 : 18$;

и) $126 \cdot 96 : 32$;

к) $172 \cdot 256 : 128$.

а) Чтобы упростить вычисление, воспользуемся распределительным свойством умножения и вынесем общий множитель 68 за скобки: $68 \cdot 48 + 68 \cdot 52 = 68 \cdot (48 + 52) = 68 \cdot 100 = 6800$.

Ответ: 6800.

б) Аналогично предыдущему примеру, вынесем общий множитель 59 за скобки: $59 \cdot 37 + 59 \cdot 63 = 59 \cdot (37 + 63) = 59 \cdot 100 = 5900$.

Ответ: 5900.

в) Вынесем общий множитель 87 за скобки: $87 \cdot 29 + 87 \cdot 71 = 87 \cdot (29 + 71) = 87 \cdot 100 = 8700$.

Ответ: 8700.

г) Используя переместительное свойство умножения ($a \cdot b = b \cdot a$), поменяем множители во втором произведении, а затем вынесем общий множитель 17 за скобки: $17 \cdot 73 - 63 \cdot 17 = 17 \cdot 73 - 17 \cdot 63 = 17 \cdot (73 - 63) = 17 \cdot 10 = 170$.

Ответ: 170.

д) Вынесем общий множитель 382 за скобки, используя распределительное свойство умножения относительно вычитания: $382 \cdot 500 - 400 \cdot 382 = 382 \cdot (500 - 400) = 382 \cdot 100 = 38200$.

Ответ: 38200.

е) Вынесем общий множитель 756 за скобки: $756 \cdot 350 + 756 \cdot 650 = 756 \cdot (350 + 650) = 756 \cdot 1000 = 756000$.

Ответ: 756000.

ж) Так как умножение и деление имеют одинаковый приоритет, действия выполняются слева направо. Для удобства вычислений можно сначала выполнить деление: $352 \cdot 18 : 9 = 352 \cdot (18 : 9) = 352 \cdot 2 = 704$.

Ответ: 704.

з) Для упрощения вычислений сначала выполним деление 36 на 18: $748 \cdot 36 : 18 = 748 \cdot (36 : 18) = 748 \cdot 2 = 1496$.

Ответ: 1496.

и) Упростим выражение, выполнив сначала деление: $126 \cdot 96 : 32 = 126 \cdot (96 : 32) = 126 \cdot 3 = 378$.

Ответ: 378.

к) Сначала выполним деление 256 на 128, чтобы упростить последующее умножение: $172 \cdot 256 : 128 = 172 \cdot (256 : 128) = 172 \cdot 2 = 344$.

Ответ: 344.

780. Представьте числовое выражение в виде произведения возможно большего числа множителей, отличных от 1:

а) $40 \cdot 24;$

б) $12 \cdot 25;$

в) $164 \cdot 125;$

г) $112 \cdot 147.$

а) Чтобы представить числовое выражение в виде произведения возможно большего числа множителей, отличных от 1, нужно разложить каждый сомножитель исходного выражения на простые множители.

Разложим число 40 на простые множители:
$40 = 4 \cdot 10 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$.

Разложим число 24 на простые множители:
$24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2 \cdot 4 = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$.

Таким образом, произведение $40 \cdot 24$ можно представить в виде произведения всех найденных простых множителей:
$40 \cdot 24 = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$.

б) Разложим каждый множитель в выражении $12 \cdot 25$ на простые сомножители.

Разложение числа 12:
$12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3$.

Разложение числа 25:
$25 = 5 \cdot 5$.

Объединим множители:
$12 \cdot 25 = (2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$.

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$.

в) Разложим каждый множитель в выражении $164 \cdot 125$ на простые сомножители.

Разложение числа 164:
$164 = 2 \cdot 82 = 2 \cdot 2 \cdot 41$. (Число 41 является простым).

Разложение числа 125:
$125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5$.

Объединим множители:
$164 \cdot 125 = (2 \cdot 2 \cdot 41) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 41 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 41 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

г) Разложим каждый множитель в выражении $112 \cdot 147$ на простые сомножители.

Разложение числа 112:
$112 = 2 \cdot 56 = 2 \cdot 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$.

Разложение числа 147:
Сумма цифр $1+4+7=12$ делится на 3, значит, число 147 делится на 3.
$147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7 \cdot 7$.

Объединим множители:
$112 \cdot 147 = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7 \cdot 7) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$.

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$.

781. Определите, являются ли данные числа простыми или составными:

а) 89, 123, 279;

б) 335, 642, 601.

Для определения, является ли число простым или составным, необходимо найти его делители. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Составное число — это натуральное число больше 1, у которого есть другие делители. Чтобы проверить число на простоту, достаточно попытаться разделить его на простые числа, не превышающие его квадратный корень.

а)

Число 89
Найдём квадратный корень из 89: $\sqrt{89} \approx 9.4$. Нам нужно проверить делимость на простые числа, меньшие 9.4, то есть на 2, 3, 5, 7.
- На 2 не делится, так как число нечетное.
- Сумма цифр $8+9=17$. 17 не делится на 3, значит и 89 не делится на 3.
- На 5 не делится, так как не оканчивается на 0 или 5.
- При делении на 7: $89 = 7 \times 12 + 5$. Не делится нацело.
Поскольку число 89 не имеет делителей среди простых чисел до $\sqrt{89}$, оно является простым.

Число 123
Проверим признак делимости на 3. Сумма цифр числа $1+2+3=6$. Так как 6 делится на 3, то и число 123 делится на 3.
$123 = 3 \times 41$.
Число 123 имеет делитель 3, поэтому оно является составным.

Число 279
Проверим признак делимости на 3. Сумма цифр числа $2+7+9=18$. Так как 18 делится на 3, то и число 279 делится на 3.
$279 = 3 \times 93$.
Число 279 имеет делитель 3, поэтому оно является составным.

Ответ: 89 — простое число; 123, 279 — составные числа.

б)

Число 335
Число оканчивается на 5, следовательно, по признаку делимости, оно делится на 5.
$335 = 5 \times 67$.
Число 335 имеет делитель 5, поэтому оно является составным.

Число 642
Число оканчивается на 2, следовательно, оно является четным и делится на 2.
$642 = 2 \times 321$.
Число 642 имеет делитель 2, поэтому оно является составным.

Число 601
Найдём квадратный корень из 601: $\sqrt{601} \approx 24.5$. Проверяем делимость на простые числа до 24: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
- На 2 не делится (нечетное).
- Сумма цифр $6+0+1=7$, на 3 не делится.
- На 5 не делится (не оканчивается на 0 или 5).
- $601 \div 7 = 85$ (ост. 6).
- $601 \div 11 = 54$ (ост. 7).
- $601 \div 13 = 46$ (ост. 3).
- $601 \div 17 = 35$ (ост. 6).
- $601 \div 19 = 31$ (ост. 12).
- $601 \div 23 = 26$ (ост. 3).
Поскольку число 601 не имеет делителей среди простых чисел до $\sqrt{601}$, оно является простым.

Ответ: 601 — простое число; 335, 642 — составные числа.

782. Запишите произведение в виде степени:

a) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2;$

б) $2 \cdot 2 \cdot 2^2 \cdot 2;$

в) $3 \cdot 3^2 \cdot 3;$

г) $2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^2.$

а) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Данное произведение состоит из пяти одинаковых множителей, равных 2. По определению степени, такое произведение можно записать как число 2 в пятой степени.

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$

Ответ: $2^5$

б) $2 \cdot 2 \cdot 2^2 \cdot 2$

Чтобы записать это произведение в виде степени, мы будем использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Сначала представим каждый множитель в виде степени с основанием 2. Любое число без показателя степени можно рассматривать как это число в первой степени, то есть $2 = 2^1$.

$2 \cdot 2 \cdot 2^2 \cdot 2 = 2^1 \cdot 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^1$

Теперь, согласно свойству, мы можем сложить все показатели степеней:

$2^{1+1+2+1} = 2^5$

Ответ: $2^5$

в) $3 \cdot 3^2 \cdot 3$

Это произведение также состоит из множителей с одинаковым основанием, равным 3. Применим то же свойство умножения степеней. Представим множители в виде степеней: $3 = 3^1$.

$3 \cdot 3^2 \cdot 3 = 3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^1$

Сложим показатели степеней:

$3^{1+2+1} = 3^4$

Ответ: $3^4$

г) $2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^2$

В этом выражении все множители уже представлены в виде степеней с одинаковым основанием 2. Для нахождения итоговой степени нужно просто сложить все показатели.

$2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^2 = 2^{2+3+3+2}$

Выполним сложение в показателе степени: $2+3+3+2 = 10$.

Таким образом, произведение равно $2^{10}$.

Ответ: $2^{10}$

783. Запишите в виде степени числа 10:

а) 10;

б) 100;

в) 1000;

г) 1 000 000 000;

д) 1 000 000 000 000;

е) число, записанное единицей с тридцатью нулями.

Чтобы представить число, которое состоит из единицы и следующими за ней нулями, в виде степени числа 10, необходимо использовать правило: показатель степени числа 10 равен количеству нулей, стоящих после единицы. Общая формула выглядит так: $1\underbrace{00...0}_{n} = 10^n$.

а)

Число 10 содержит один нуль после единицы. Следовательно, его можно записать как 10 в первой степени.

$10 = 10^1$

Ответ: $10^1$

б)

Число 100 содержит два нуля после единицы. Это означает, что 100 равно 10, умноженному на себя два раза, то есть 10 во второй степени.

$100 = 10 \times 10 = 10^2$

Ответ: $10^2$

в)

Число 1000 содержит три нуля после единицы. Это означает, что 1000 равно 10, умноженному на себя три раза, то есть 10 в третьей степени.

$1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3$

Ответ: $10^3$

г)

В числе 1 000 000 (один миллион) после единицы стоит шесть нулей. Следовательно, это число равно 10 в шестой степени.

$1\;000\;000 = 10^6$

Ответ: $10^6$

д)

В числе 1 000 000 000 000 (один триллион) после единицы стоит двенадцать нулей. Следовательно, это число равно 10 в двенадцатой степени.

$1\;000\;000\;000\;000 = 10^{12}$

Ответ: $10^{12}$

е)

Число, записанное единицей с тридцатью нулями, по определению имеет 30 нулей. Показатель степени для основания 10 будет равен 30.

Ответ: $10^{30}$

784. Данные числа запишите в виде степеней простых чисел или произведения степеней простых чисел:

а) 64, 128, 200;

б) 144, 256, 333;

в) 346, 125, 512;

г) 1728, 10 000, 4096;

д) 250 000, 75 000 000, 120 000 000.

а)
Для числа 64: $64$ является степенью числа 2. $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.
Для числа 128: $128$ также является степенью числа 2. $128 = 2 \cdot 64 = 2 \cdot 2^6 = 2^7$.
Для числа 200: $200 = 2 \cdot 100 = 2 \cdot 10^2 = 2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^3 \cdot 5^2$.
Ответ: $64 = 2^6$; $128 = 2^7$; $200 = 2^3 \cdot 5^2$.

б)
Для числа 144: $144 = 12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2$.
Для числа 256: $256$ является степенью числа 2. $256 = 16^2 = (2^4)^2 = 2^8$.
Для числа 333: $333 = 3 \cdot 111 = 3 \cdot (3 \cdot 37) = 3^2 \cdot 37$. Число 37 является простым.
Ответ: $144 = 2^4 \cdot 3^2$; $256 = 2^8$; $333 = 3^2 \cdot 37$.

в)
Для числа 346: $346 = 2 \cdot 173$. Число 173 является простым, так как оно не делится на простые числа до $\sqrt{173} \approx 13.15$ (т.е. на 2, 3, 5, 7, 11, 13).
Для числа 125: $125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5^2 = 5^3$.
Для числа 512: $512$ является степенью числа 2. $512 = 2^9$.
Ответ: $346 = 2 \cdot 173$; $125 = 5^3$; $512 = 2^9$.

г)
Для числа 1728: $1728 = 12^3 = (2^2 \cdot 3)^3 = 2^6 \cdot 3^3$.
Для числа 10 000: $10\;000 = 100^2 = (10^2)^2 = 10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$.
Для числа 4096: $4096$ является степенью числа 2. $4096 = 64^2 = (2^6)^2 = 2^{12}$.
Ответ: $1728 = 2^6 \cdot 3^3$; $10\;000 = 2^4 \cdot 5^4$; $4096 = 2^{12}$.

д)
Для числа 250 000: $250\;000 = 25 \cdot 10\;000 = 5^2 \cdot 10^4 = 5^2 \cdot (2 \cdot 5)^4 = 5^2 \cdot 2^4 \cdot 5^4 = 2^4 \cdot 5^6$.
Для числа 75 000 000: $75\;000\;000 = 75 \cdot 1\;000\;000 = (3 \cdot 25) \cdot 10^6 = 3 \cdot 5^2 \cdot (2 \cdot 5)^6 = 3 \cdot 5^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5^8$.
Для числа 120 000 000: $120\;000\;000 = 120 \cdot 1\;000\;000 = (12 \cdot 10) \cdot 10^6 = (2^2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)^6 = (2^3 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (2^6 \cdot 5^6) = 2^9 \cdot 3 \cdot 5^7$.
Ответ: $250\;000 = 2^4 \cdot 5^6$; $75\;000\;000 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5^8$; $120\;000\;000 = 2^9 \cdot 3 \cdot 5^7$.

785. Запишите данное числовое выражение в виде квадрата некоторого числа:

а) $32 \cdot 2;$

б) $8 \cdot 2;$

в) $4^2 \cdot 4;$

г) $3^4 \cdot 4^2.$

а) Чтобы представить выражение $32 \cdot 2$ в виде квадрата некоторого числа, сначала необходимо вычислить его значение. Произведение $32 \cdot 2 = 64$. Далее, нужно найти число, которое при возведении в квадрат дает 64. Этим числом является 8, так как $8^2 = 8 \cdot 8 = 64$. Таким образом, выражение $32 \cdot 2$ можно записать как $8^2$.
Ответ: $8^2$.

б) Вычислим значение выражения $8 \cdot 2$. Произведение равно 16. Теперь найдем число, квадрат которого равен 16. Это число 4, так как $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$. Следовательно, выражение $8 \cdot 2$ можно записать в виде $4^2$.
Ответ: $4^2$.

в) Рассмотрим выражение $4^2 \cdot 4$. Можно решить задачу двумя способами.
Способ 1: Вычислить значение выражения. $4^2 = 16$, тогда $16 \cdot 4 = 64$. Как мы знаем из пункта а), $64 = 8^2$.
Способ 2: Использовать свойства степеней. Выражение $4^2 \cdot 4$ можно записать как $4^2 \cdot 4^1$. По свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем $4^{2+1} = 4^3$. Чтобы представить $4^3$ в виде квадрата, можно представить основание 4 как $2^2$: $4^3 = (2^2)^3$. По свойству возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), получаем $2^{2 \cdot 3} = 2^6$. Теперь представим $2^6$ как квадрат: $2^6 = 2^{3 \cdot 2} = (2^3)^2$. Вычислив основание, получаем $2^3 = 8$. Таким образом, итоговое выражение равно $8^2$.
Ответ: $8^2$.

г) Чтобы представить выражение $3^4 \cdot 4^2$ в виде квадрата, воспользуемся свойствами степеней. Нам нужно привести выражение к виду $a^2$. Для этого каждый множитель представим в виде квадрата.
Первый множитель: $3^4 = 3^{2 \cdot 2} = (3^2)^2$.
Второй множитель $4^2$ уже представлен в виде квадрата.
Теперь исходное выражение можно записать как $(3^2)^2 \cdot 4^2$. Используя свойство произведения степеней $(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n)$, получаем: $(3^2 \cdot 4)^2$. Теперь вычислим выражение в скобках: $3^2 \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36$. Таким образом, исходное выражение равно $36^2$.
Ответ: $36^2$.

786. Запишите:

а) $10^2$ в виде произведения двух квадратов;

б) $12^3$ в виде произведения двух кубов;

в) $3^{12}$ в виде квадрата;

г) $3^{12}$ в виде куба;

д) $7^4$ в виде квадрата;

е) $4^5$ в виде произведения квадрата и куба;

ж) $6^7$ в виде произведения квадрата и куба.

а) Чтобы записать $10^2$ в виде произведения двух квадратов, представим основание степени $10$ как произведение двух чисел, например, $10 = 2 \cdot 5$. Затем воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$: $10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
Ответ: $2^2 \cdot 5^2$

б) Чтобы записать $12^3$ в виде произведения двух кубов, представим основание степени $12$ как произведение двух чисел, например, $12 = 3 \cdot 4$. Затем воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$: $12^3 = (3 \cdot 4)^3 = 3^3 \cdot 4^3$.
Ответ: $3^3 \cdot 4^3$

в) Чтобы записать $3^{12}$ в виде квадрата, воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$. Нам нужно представить показатель $12$ в виде произведения, где один из множителей равен $2$. Так как $12 = 6 \cdot 2$, получаем: $3^{12} = 3^{6 \cdot 2} = (3^6)^2$.
Ответ: $(3^6)^2$

г) Чтобы записать $3^{12}$ в виде куба, воспользуемся тем же свойством $(a^m)^n = a^{mn}$. Нам нужно представить показатель $12$ в виде произведения, где один из множителей равен $3$. Так как $12 = 4 \cdot 3$, получаем: $3^{12} = 3^{4 \cdot 3} = (3^4)^3$.
Ответ: $(3^4)^3$

д) Чтобы записать $7^4$ в виде квадрата, представим показатель $4$ как $2 \cdot 2$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $7^4 = 7^{2 \cdot 2} = (7^2)^2$.
Ответ: $(7^2)^2$

е) Чтобы записать $4^5$ в виде произведения квадрата и куба, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Представим показатель $5$ в виде суммы $2 + 3$: $4^5 = 4^{2+3} = 4^2 \cdot 4^3$.
Ответ: $4^2 \cdot 4^3$

ж) Чтобы записать $6^7$ в виде произведения квадрата и куба, воспользуемся свойством $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Нам нужно представить $6^7$ как произведение некоторого квадрата и некоторого куба. Для этого разложим показатель $7$ на слагаемые так, чтобы получить множители, являющиеся квадратом и кубом. Представим $7$ как $4+3$. Тогда: $6^7 = 6^{4+3} = 6^4 \cdot 6^3$. Выражение $6^4$ является квадратом, так как $6^4 = (6^2)^2$. Выражение $6^3$ является кубом. Таким образом, мы получили произведение квадрата и куба.
Ответ: $6^4 \cdot 6^3$